Derivada feble

En matemàtiques, una derivada feble és una generalització del concepte de derivada d'una funció (derivada forta) per a funcions no derivables, sinó només integrables, és a dir que pertanyen a l'Espai de Lebesgue ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Vegeu distribucions per a una definició fins i tot més general.

Definició

Sia ${\displaystyle u}$ una funció en l'espai de Lebesgue ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$. Es Diu que ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ és un derivada feble de ${\displaystyle u}$ si

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt}$

per a tota funció infinitament derivable ${\displaystyle \varphi }$ amb ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$. Aquesta definició està motivada per la tècnica d'integració d'integració per parts.

Generalitzant a n dimensions, si ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ pertanyen a l'espai ${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$ de funcions localment integrables per a algun conjunt obert ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$, i si ${\displaystyle \alpha }$ és un multiíndex, es diu que ${\displaystyle v}$ és la derivada feble ${\displaystyle \alpha ^{essima}}$ de ${\displaystyle u}$ si

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

per a tot ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$, és a dir, per a tota funció infinitament diferenciables ${\displaystyle \varphi }$ amb suport compacte en ${\displaystyle U}$. Si ${\displaystyle u}$ té uns derivada feble, aquesta s'escriu sovint ${\displaystyle D^{\alpha }u}$ ja que les derivades febles són úniques (com a mínim, tret d'un conjunt de mesura zero, vegeu més avall).

Exemples

• La funció valor absolut u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, que no és diferenciable a t = 0, té una derivada feble v coneguda com la funció signe donada per

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}v\colon &[-1,1]&\to &[-1,1]\\&t&\mapsto &v(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}t>0;\\0,&{\mbox{si }}t=0;\\-1,&{\mbox{si }}t<0.\end{cases}}\end{array}}}$

Aquesta no és l'única derivada feble per a u: qualsevol w que sigui igual a v gairebé a tot arreu és també un derivada feble de u. Normalment, això no és un problema, ja que en la teoria de espais L^p i espais de Sóbolev, les funcions que són iguals gairebé a tot arreu s'identifiquen.

• La funció característica dels nombres racionals ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ no és diferenciable enlloc però té una derivada feble a tot arreu. Com que la mesura de Lebesgue dels nombres racionals és zero,

${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)dt=0}$

Així ${\displaystyle v(t)=0}$ és el derivada feble de ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$. Fixeu-vos que això està d'acord amb la intuïció ja que quan es considera com a membre d'un espai Lp, ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ s'identifica amb la funció zero.

Propietats

Si dues funcions són derivades febles de la mateixa funció, són iguals excepte en un conjunt amb mesura de Lebesgue zero, és a dir, són iguals gairebé a tot arreu. Si es consideren classes d'equivalència de funcions, on dues funcions són equivalents si són iguals gairebé a tot arreu, llavors la derivada feble és única.

També, si u és diferenciable en el sentit convencional llavors la seva derivada feble és idèntica (en el sentit donat a dalt) a la seva derivada convencional (forta). Així la derivada feble és una generalització de la forta. A més, les regles clàssiques per a les derivats de sumes i productes de funcions també es compleixen per a la derivada feble.

Extensions

Aquest concepte causa a les solucions febles en espais de Sóbolev, que són útils per a problemes d'equacions diferencials i en anàlisi funcional.

Vegeu també

• Subderivada

Referències

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Berlín: Springer, 2001, p. 149. ISBN 3-540-41160-7. 
• Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998, p. 242. ISBN 0-8218-0772-2. 
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. Nova York: Springer, 2003, p. 53. ISBN 0-387-95449-X.