Espai de Kolmogórov

Un espai topològic es diu que és ${\displaystyle T_{0}}$ o espai de Kolmogórov (o que compleix la propietat de separació de Kolmogórov) si donats dos punts diferents qualssevol ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ de l'espai, o bé existeix un entorn ${\displaystyle U_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ de manera que ${\displaystyle y\notin U_{x}}$ o bé hi ha un entorn ${\displaystyle U_{y}}$ de ${\displaystyle y}$ de manera que ${\displaystyle x\notin U_{y}}$.^[1][2]

Caracteritzacions

Hi ha diverses caracteritzacions de la propietat de separació de Kolmogórov:

• Donats dos punts diferents qualssevol ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle i}$ l'espai, la clausura de ${\displaystyle \{x\}}$ és diferent de la clausura de ${\displaystyle \{i\}}$.

• Donat qualsevol punt ${\displaystyle x}$ l'espai, l'acumulació de ${\displaystyle \{x\}}$ és unió de conjunts tancats.

Exemples i propietats

La propietat de separació de Kolmogórov és hereditària, la qual cosa vol dir que tot subespai topològic d'un espai de Kolmogórov és també un espai de Kolmogórov.^[3]

Tot espai mètric és un espai de Kolmogórov, però no ho són els espais pseudomètrics. De fet, un espai pseudomètric és mètric si i només si és un espai de Kolmogórov.

Referències

Vegeu també

• Axiomes de separació