Nombre de Proth

En teoria dels nombres, un nombre de Proth, anomenat així en honor del matemàtic francès François Proth, és un nombre enter de la forma:

k ⋅ 2 n + 1 {\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}

on k {\displaystyle k} és un enter positiu senar i n {\displaystyle n} és un enter positiu tal que 2 n > k {\displaystyle 2^{n}>k} . Sense aquesta última condició, tots els nombres enters més grans que 1 serien nombres de Proth.[1]

Els primers nombres de Proth són:[2]

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, ...

Els nombres de Cullen (n·2n+1) i els nombres de Fermat són casos particulars dels nombres de Proth.

Nombres primers de Proth

Un nombre primer de Proth és un nombre de Proth que és, a la vegada, primer. Els primers nombres primers de Proth són:[3]

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857.

La primalitat d'un nombre de Proth pot ser avaluada mitjançant el teorema de Proth,[4] que diu que un nombre de Proth p {\displaystyle p} és primer si i només si existeix un nombre enter a {\displaystyle a} tal que es compleix la següent identitat:

a p − 1 2 ≡ − 1   ( mod p ) {\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}

El nombre primer de Proth més gran conegut l'any 2010 és el 19249 ⋅ 2 13018586 + 1 {\displaystyle 19249\cdot 2^{13018586}+1} .[5] Va ser descobert per Konstantin Agafonov a través de l'aplicació distribuïda Seventeen or Bust.,[6] que ho va enunciar el 5 de maig de 2007. És també el nombre primer més gran conegut no nombre de Mersenne.[7]

Vegeu també

Referències

  1. ↑ Weisstein, Eric W., «Proth Number» a MathWorld (en anglès).
  2. ↑ (successió A080075 a l'OEIS)
  3. ↑ (successió A080076 a l'OEIS)
  4. ↑ Weisstein, Eric W., «Proth's Theorem» a MathWorld (en anglès).
  5. ↑ Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The Prime Pages.
  6. ↑ Press Release by Seventeen or Bust Arxivat 2016-03-23 a Wayback Machine.. 5 May 2007.
  7. ↑ Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The Prime Pages.