Polinomi trigonomètric

Un polinomi trigonomètric, també anomenat suma trigonomètrica és una combinació lineal finita de funcions trigonomètriques sinus i cosinus del tipus ${\displaystyle \sin(nx)}$ i ${\displaystyle \cos(nx)}$ amb ${\displaystyle n}$, prenent els valors d'un o més nombres naturals, i ${\displaystyle x}$ un nombre real. Els polinomis trigonomètrics són àmpliament utilitzats, per exemple, en la interpolació trigonomètrica aplicada a funcions periòdiques, en la solució d'equacions diferencials lineals ordinàries amb coeficients constants, i en el càlcul de la transformada discreta de Fourier. El polinomi trigonomètric també permet una representació complexa (formal) clara en la que certes combinacions lineals complexes es formen a partir de les funcions exponencials en lloc de les funcions cosinus i sinus. Amb aquesta representació, sovint es simplifiquen els càlculs.

En la teoria de funcions, l'anàlisi funcional i en moltes aplicacions, com la teoria del nombre analític, qualsevol combinació lineal complexa de funcions amb un nombre ${\displaystyle \omega >0}$ fix real es denomina polinomi trigonomètric complex o suma trigonomètrica complexa.

Tant els polinomis trigonomètrics reals com els complexos proporcionen les millors aproximacions úniques, en qualsevol grau ${\displaystyle n}$ donat, per a cada funció que les funcions trigonomètriques generadores que cada un conté com a base ortonormal (sistema ortogonal).

Els polinomis trigonomètrics són sumes parcials de les sèries de Fourier, les quals tenen infinits termes.

Definicions

Polinomi trigonomètric real

S'anomena polinomi trigonomètric real de grau n-èsim, a qualsevol funció ${\displaystyle P(x)}$ definida per:

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(kx)+\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\sin(kx)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

sent ${\displaystyle \alpha _{k}}$ i ${\displaystyle \beta _{k}}$ coeficients reals no nuls, amb ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$^[1]

Període d'un polinomi trigonomètric

Un polinomi trigonomètric real, sent compost de funcions periòdiques, també es pot definir una mica més generalment pel seu període, sent aquest un nombre real positiu ${\displaystyle T}$. Si es defineix ${\displaystyle {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}}$, llavors el polinomi es pot escriure com :

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(k\omega x)+\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\sin(k\omega x)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

on ${\displaystyle \omega }$ és l'anomenada freqüència angular.

Per als paràmetres restants, les mateixes suposicions i designacions s'apliquen com en el cas especial de ${\displaystyle T=2\pi }$ i ${\displaystyle \omega =1}$.

Polinomi trigonomètric complex

De manera similar, s'anomena polinomi trigonomètric complex de grau n-èsim, a qualsevol funció ${\displaystyle P(x)}$ definida per:

${\displaystyle P(x)={\frac {\alpha _{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}\cos(kx)+i\sum _{k=1}^{N}\beta _{k}\sin(kx)\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } )}$

sent ${\displaystyle \alpha _{k}}$ i ${\displaystyle \beta _{k}}$ també coeficients reals no nuls, amb ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$ i ${\displaystyle i={\sqrt {-}}1}$.

Usant la fórmula d'Euler, l'anterior equació pot ser reescrita com:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-N}^{N}\gamma _{k}e^{ikx}\qquad (x\in \mathbf {\mathbb {R} } ).}$

sent ${\displaystyle \gamma _{k}}$ un coeficient complex, escrit en la forma polar ${\displaystyle \gamma _{k}=c_{k}e^{i\theta _{k}}}$ o en la forma ${\displaystyle \gamma _{k}=a_{k}+ib_{k}}$

Propietats

Ortogonalidad

Els polinomis trigonomètrics compleixen amb les següents propietats ortogonals, sent ${\displaystyle (k,l\in \mathbb {N} )}$ i ${\displaystyle \omega }$ definit com s'ha fet prèviament:

1. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx=0}$,
2. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\cos(k\omega x)\cdot \cos(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l=0)\end{cases}}}$
3. ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}\sin(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{\omega }}\quad (k=l\neq 0)\\0\quad (k=l=0).\end{cases}}}$

En el cas dels polinomis trigonomètrics complexos, sent ${\displaystyle (k,l\in \mathbb {Z} )}$ l'ortogonalitat s'expressa així:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {2\pi }{\omega }}e^{ik\omega x}\cdot e^{-il\omega x}\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {2\pi }{\omega }}\quad (k=l).\end{cases}}}$

Convergència

El teorema de Fejér estableix que la mitjana aritmètica de les sumes parcials de la sèrie de Fourier de la funció ${\displaystyle f}$ convergeix uniformement a ${\displaystyle f}$, sempre que aquesta funció sigui contínua en el cercle, donant així una manera explícita de trobar un polinomi trigonomètric aproximat ${\displaystyle T}$.

Teorema de Weierstrass

Els polinomis trigonomètrics formen un conjunt dens en l'espai de funcions contínues en el cercle unitari, amb la norma uniforme.^[2] Aquest és un cas especial del teorema de Stone-Weierstrass. Més concretament, per a cada funció contínua ${\displaystyle f}$ i cada ${\displaystyle \epsilon >0}$, existeix un polinomi trigonomètric ${\displaystyle T}$ tal que ${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$ per a tot nombre ${\displaystyle z}$.

Quantitat d'arrels

Un polinomi trigonomètric de grau N té un màxim de 2N arrels en qualsevol interval semiobert ${\displaystyle [a,a+2\pi )}$sent ${\displaystyle a}$ un nombre real.^[3]

Referències