Graf Dirichletovy beta funkce Dirichletova beta funkce je speciální funkcí, úzce související s Riemannovou zeta funkcí.
Definice Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s ) > 0) jako:
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s , {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},} nebo ekvivalentně
β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x 1 + e − 2 x d x . {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.} Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu :
β ( s ) = ( π 2 ) s − 1 Γ ( 1 − s ) cos π s 2 β ( 1 − s ) , {\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s),} kde Γ(s ) je gama funkce.
Vybrané speciální hodnoty β ( 0 ) = 1 2 , {\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},} β ( 1 ) = a r c t g ( 1 ) = π 4 , {\displaystyle \beta (1)\;=\;\mathrm {arctg} (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},} β ( 2 ) = 0,915 965594177219015 … {\displaystyle \beta (2)\;=\;0{,}915965594177219015\ldots } má speciální název Catalanova konstanta, β ( 3 ) = π 3 32 , {\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},} β ( 5 ) = 5 π 5 1536 , {\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},} β ( 7 ) = 61 π 7 184320 . {\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}.} Externí odkazy (anglicky) Dirichletova beta funkce na serveru MathWorld Pahýl Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.
Portály: Matematika