Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je silnější druh konvergence, než bodová konvergence. Posloupnost { f n ( x ) } n = 1 n = ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{n=\infty }} funkcí konverguje stejnoměrně k limitní funkci f, pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x.

Definice

Srovnáme-li definice konvergence

∀ ε > 0 , ∀ x , ∃ n 0 ∈ N : ∀ n ∈ N , n > n 0 : | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall x,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }

a stejnoměrné konvergence

∀ ε > 0 , ∃ n 0 ∈ N : ∀ x , ∀ n ∈ N , n > n 0 : | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall x,\forall n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon } ,

vidíme, že jediný rozdíl je v pořadí kvantifikátorů ∀ x {\displaystyle \forall x} a ∃ n 0 {\displaystyle \exists n_{0}} . Tento rozdíl je však podstatný: Uvážíme-li posloupnost funkcí f n ( x ) = x n − x 2 n {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}-x^{2n}} , pak na intervalu [0, 1] všechny konvergují k nule, nikoli však stejnoměrně.

Ekvivalentní definice

Platí, že posloupnost funkcí f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} konverguje na intervalu I k funkci f(x) stejnoměrně právě tehdy, když

lim n → ∞ sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | = 0 {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|=0} ,

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Uniform convergence na anglické Wikipedii.

Související články