Dirichlet-Bedingung

Dieser Artikel erläutert eine Konvergenzbedingung für Fourierreihen; für die Randbedingung bei Differenzialgleichungen; siehe Dirichlet-Randbedingung.

Die Dirichlet-Bedingung, auch Satz von Dirichlet genannt, ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei f {\displaystyle f} eine im Intervall [ − T / 2 , T / 2 ] {\displaystyle [-T/2,T/2]} definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

  1. Das Intervall [ − T / 2 , T / 2 ] {\displaystyle [-T/2,T/2]} lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f {\displaystyle f} stetig und monoton ist.
  2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, f ( t 0 + ) {\displaystyle f(t_{0}+)} und f ( t 0 − ) {\displaystyle f({t_{0}}-)} .

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem t ∈ [ − T / 2 , T / 2 ] {\displaystyle t\in [-T/2,T/2]} gegen

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n ⋅ cos ⁡ ( n ω t ) + b n ⋅ sin ⁡ ( n ω t ) ) = { f ( t ) , wenn  f  in t stetig ( f ( t + ) + f ( t − ) ) / 2 , wenn  f  in t unstetig {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))={\begin{cases}f(t),&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t stetig}}\\(f(t+)+f(t-))/2,&{\mbox{wenn }}f{\mbox{ in t unstetig}}\end{cases}}} .

Quellen