In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung
sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.
Definition
Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.
Linksseitige Kan-Erweiterung
Seien
,
und
Kategorien,
und
Funktoren und
und
natürliche Transformationen.
Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors
entlang eines Funktors
ist ein Paar
, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Für jedes
und jedes
gibt es genau ein
mit
, wobei
.
Rechtsseitige Kan-Erweiterung
Seien
,
und
Kategorien,
und
Funktoren und
und
natürliche Transformationen.
Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors
entlang eines Funktors
ist ein Paar
, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Für jedes
und jedes
gibt es genau ein
mit
, wobei
.
Literatur
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.