In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie[1] bzw. Lage- und Skalenfamilie[2] eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.
Definition
Sei
eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion
, und für
und
sei[1]
.
Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von
induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter
und Skalenparameter
. Für
spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für
spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter
.
Eigenschaften
Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen
Die Verteilungsfunktion
der Zufallsvariablen
kann durch die Verteilungsfunktion
der Zufallsvariablen
ausgedrückt werden. Es gilt
![{\displaystyle F_{X}(t)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\quad {\text{für alle }}t\in \mathbb {R} \;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd99b6806e27c4234ab3efd1afbb7493ee787f5)
da
![{\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(\mu +\sigma Z\leq t)=P\left(Z\leq {\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)=F_{Z}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d68919b47fb46fd8004fc499add2dbd903c93d)
Die durch
erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter
und dem Skalenparamater
kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen
![{\displaystyle \left\{\left.F_{\mu ,\sigma }(\cdot )=F_{Z}\left({\frac {\cdot -\mu }{\sigma }}\right)\right|\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3cb08ec2666628ca347dd0fe0ec0eada41dbd2)
charakterisiert werden.
Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen
Ist
auf
stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion
von
auf
stetig und streng monoton und es gilt:[1]
.
Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt
.
Beispiele
- Die Normalverteilungen
bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter
und dem Skalenparamater
. Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist
,
- wobei
die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist
zugleich der Erwartungswert und
ist zugleich die Standardabweichung von
.
- Die Exponentialverteilungen
mit den Verteilungsfunktionen
![{\displaystyle F_{\lambda }(x)={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&{\text{für }}x>0,\\0&{\text{für }}x\leq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0e29c5a4097fcebf177c09e0b0204182d33327)
- für
bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter
. Dabei ist
zugleich die Standardabweichung von
.
- Aus der Standard-Cauchyverteilung
mit der Verteilungsfunktion
.
- kann die Lage-Skalen-Familie
gebildet werden, indem ausgehend von
die Verteilungen von
für
und
gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von
ist
.
- Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter
und der Skalenparameter
bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.
Literatur
- Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3.
Einzelnachweise
- ↑ a b c Torsten Becker et al., S. 357.
- ↑ location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).