Moser-Ungleichung

Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der L 2 {\displaystyle L^{2}} -Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der L 2 {\displaystyle L^{2}} -Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

Mit L p ( R m ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{m})} wird der L p {\displaystyle L^{p}} -Raum und mit H s ( R m ) {\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{m})} für s ∈ N {\displaystyle s\in \mathbb {N} } der Sobolev-Raum der L 2 {\displaystyle L^{2}} -Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante C s ∈ R > 0 {\displaystyle C_{s}\in \mathbb {R} _{>0}} so, dass für alle Funktionen f , g ∈ H s ( R m ) ∩ L ∞ ( R m ) {\displaystyle f,\,g\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})} und für jeden Multiindex α {\displaystyle \alpha } mit | α | = s {\displaystyle \left|\alpha \right|=s} die Ungleichung[1]

‖ D α ( f ⋅ g ) ‖ L 2 ≦ C s ( ‖ f ‖ L ∞ ‖ g ‖ L 2 + ‖ D s f ‖ L 2 ‖ g ‖ L ∞ ) {\displaystyle \|D^{\alpha }(f\cdot g)\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|f\|_{L^{\infty }}\|g\|_{L^{2}}+\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}\right)}

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass f {\displaystyle f} einmal schwach differenzierbar ist, also f ∈ H s ( R m ) ∩ W 1 , ∞ ( R m ) {\displaystyle f\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})} gilt, wobei W 1 , ∞ ( R m ) {\displaystyle W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})} den Sobolev-Raum der L 1 {\displaystyle L^{1}} -Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung[1]

‖ D α ( f g ) − f D α g ‖ L 2 ≦ C s ( ‖ D s f ‖ L 2 ‖ g ‖ L ∞ + ‖ f ‖ L ∞ ‖ D s − 1 g ‖ L 2 ) . {\displaystyle \|D^{\alpha }(fg)-fD^{\alpha }g\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}+\|f\|_{L^{\infty }}\|D^{s-1}g\|_{L^{2}}\right).}

Die Funktion g {\displaystyle g} ist hier aus dem Raum und H s − 1 ( R m ) ∩ L ∞ ( R m ) {\displaystyle H^{s-1}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})} .

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Beweisidee

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall f , g ∈ C c ∞ ( R m ) {\displaystyle f,\,g\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})} . Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.

Einzelnachweise

  1. ↑ a b Michael Eugene Taylor: Partial Differential Equations. Band 3: Nonlinear equations. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 0-387-94652-7 (Applied mathematical Sciences 117), S. 10–11.