Primzahlpotenz

Primzahlpotenzen (kurz Primpotenzen) sind natürliche Zahlen, die eine Potenz einer Primzahl $p$ sind, z. B. $625=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{4}$ .

Primzahlpotenzen treten bei endlichen Körpern auf. Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz.

Beispiele und Werte

$169=13^{2}$
$2401=7^{4}$
$1024=2^{10}$

Die ersten Primzahlpotenzen sind:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101 …^[1]

Lässt man die einfachen Primzahlen, also die Primpotenzen mit 1 als Exponent, aus, erhält man:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 49, 64, 81, 121, 125, 128, 169, 243, 256, 289, 343, 361, 512, 529, 625, 729, 841, 961, 1024, 1331 …^[2]

Modul

$p\geq 5,p^{2}\equiv 1\mod {\{2,3,4,6,8,12,24\}}$
$p\geq 7,p^{4}\equiv 1\mod {\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80\}}$

...

$p\geq 23,p^{7920}\equiv 1\mod {\{2-28,30,...\}}$

...

Verallgemeinerung

In beliebigen kommutativen Ringen mit $1$ werden Primzahlpotenzen durch primäre Ideale und irreduzible Ideale verallgemeinert. In Dedekindringen sind Ideale genau dann primär bzw. irreduzibel, wenn sie von einer Potenz eines Primelementes erzeugt werden.