RC-Glied

Unter RC-Gliedern versteht man in der Elektrotechnik Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand (R – engl. resistor) und einem Kondensator (C – engl. capacitor) aufgebaut sind. RC-Glieder sind lineare, zeitinvariante Systeme. Im engeren Sinne sind damit die Filter wie der Tiefpass oder Hochpass gemeint. Bei einem Tiefpass, wie in nebenstehendem Bild, wird das Ausgangssignal am Kondensator abgegriffen, beim Hochpass dagegen am Widerstand.

Zum Potentialausgleich beziehungsweise bei der Funktionserdung finden sich Parallelschaltungen von Kondensator und Widerstand. Zur Begrenzung von elektromagnetischen Störungen finden sich Reihenschaltungen von Kondensator und Widerstand, wie beispielsweise bei dem Snubber.

Verhalten im Zeitbereich

Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC-Tiefpasses

Das RC-Glied in Tiefpasskonfiguration ist ein integrierendes, zeitkontinuierliches, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied. Die allgemeine systemtheoretische Beschreibung ergibt sich aus den Kirchhoffschen Regeln und den Strom-/Spannungs-Beziehungen an Kondensator bzw. Widerstand. Die Maschengleichung ergibt

${\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+u_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0}$.

Da es sich um einen unverzweigten Stromkreis handelt, gilt ${\displaystyle i_{\text{c}}(t)=i_{\text{r}}(t)}$. Für den Spannungsabfall am Widerstand gilt

${\displaystyle u_{\text{r}}(t)=Ri_{\text{r}}(t)}$

und der Strom durch den Kondensator ist durch die Beziehung

${\displaystyle i_{\text{c}}(t)=C{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}}$

festgelegt. Setzt man nun die Gleichung der Spannung über den Widerstand in die Maschengleichung ein, so erhält man

${\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+Ri_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0}$.

Einsetzen des Stroms ergibt letztendlich die Differentialgleichung

${\displaystyle RC{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}+u_{\text{c}}(t)=u_{\text{e}}(t)}$,

welche das Übertragungsglied vollständig beschreibt: Das RC-Glied hat also ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung und entspricht einem PT1-Glied mit der Zeitkonstante T = RC.

Um den integrierenden Charakter des Tiefpassfilters zu verdeutlichen, nehmen wir noch einige Umformungen vor. Die Gleichung wird auf beiden Seiten integriert

${\displaystyle \int RC{\frac {{\text{d}}u_{c}(t)}{{\text{d}}t}}\,{\text{d}}t+\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t=\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t}$,

wobei sich Differential- und Integraloperator in einem Term direkt aufheben und folgt

${\displaystyle RCu_{\text{c}}(t)+\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t=\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t}$.

Umstellen nach der Ausgangsspannung ${\displaystyle u_{\text{c}}(t)}$ ergibt letztendlich

${\displaystyle u_{\text{c}}(t)={\frac {1}{RC}}\left(\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t-\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t\right)={\frac {1}{RC}}\int \left(u_{\text{e}}(t)\,-u_{\text{c}}(t)\right)\,{\text{d}}t}$.

Die Integralgleichung im Zeitbereich kann direkt der Laplace-Transformation unterzogen werden, wodurch sich

${\displaystyle u_{\text{c}}(s)={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{\text{s}}}\left(u_{\text{e}}(s)-u_{\text{c}}(s)\right)}$

ergibt. Durch Division des Ausgangssignals ${\displaystyle u_{\text{c}}(t)}$ durch das Eingangssignal ${\displaystyle u_{\text{e}}(t)}$ ergibt sich die Übertragungsfunktion des RC-Tiefpass:

${\displaystyle G_{\text{TP}}(s)={\frac {u_{\text{c}}(s)}{u_{\text{e}}(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}}$.

Durch Setzen von ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$ (mit der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {j} }$ und der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$) ergibt sich die Fourier-Transformation und damit die spektrale Repräsentation des Systems:

${\displaystyle G_{\text{TP}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {u_{\text{c}}(\mathrm {j} \omega )}{u_{\text{e}}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} \omega RC}}}$.

Die wohl wichtigste Klasse von Signalen zur Betrachtung des Filterverhaltens sind harmonische Signale, deshalb ist es häufig von großem Interesse, welches Dämpfungsverhalten das Filter auf ein Sinussignal hat. Durch das Eingangssignal

${\displaystyle u_{\text{e}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )}$

folgt in der zuvor hergeleiteten Differential- bzw. Integralgleichung dann

${\displaystyle RC{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}+u_{\text{c}}(t)=u_{\text{e}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )}$.

Um die Ausgangsspannung zu finden, muss nach ${\displaystyle u_{\text{c}}(t)}$ umgestellt werden, dies ist analytisch möglich. Es handelt sich um eine Lineare gewöhnliche Differentialgleichung, zu der es viele verschiedene Lösungsmethoden gibt. Betrachtet man die Anfangsbedingung ${\displaystyle u_{\text{c}}(0)=0}$, also den Fall, dass das System beim Einschwingen zunächst energielos ist, dann ergibt sich die Lösung zu

${\displaystyle u_{\text{c,sin}}(t)={\frac {{\hat {u}}\left(\sin \left(\omega t+\varphi \right)-RC\omega \cos \left(\omega t+\varphi \right)\right)-{\hat {u}}{\text{e}}^{-{\frac {t}{RC}}}\left(\sin(\varphi )-RC\omega \cos(\varphi )\right)}{\left(\omega RC\right)^{2}+1}}}$.

Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC-Hochpasses

Auch beim RC-Hochpass handelt es sich um einen unverzweigten Stromkreis, hierbei wird die Ausgangsspannung jedoch am Widerstand abgegriffen. Systemtheoretisch handelt es sich um ein differenzierendes Übertragungsglied. Die Maschengleichung ergibt

${\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+u_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0}$.

Für die Spannung über dem Kondensator gilt die Integralbeziehung

${\displaystyle u_{\text{c}}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t}$.

Aufgrund der Unverzweigtheit des Stromkreises gilt ${\displaystyle i_{\text{c}}(t)=i_{\text{r}}(t)}$, daraus folgt nach Einsetzen

${\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}\int i_{\text{r}}(t)\,{\text{d}}t+u_{\text{r}}(t)=0}$.

Der Strom im Integral lässt sich schreiben als: ${\displaystyle i_{\text{r}}(t)={\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}}$, eingesetzt in die Gleichung folgt

${\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}\int {\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}\,{\text{d}}t+u_{\text{r}}(t)=0}$,

dabei handelt es sich um eine Integralgleichung, welche das System nun vollständig beschreibt. Um den differenzierenden Charakter des Hochpassfilters zu verdeutlichen, nehmen wir noch einige Umformungen vor. Die Gleichung wird auf beiden Seiten differenziert

${\displaystyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int {\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}\,{\text{d}}t+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{r}}(t)=0}$,

wobei sich der Differential- und der Integraloperator wieder gegenseitig aufhebt

${\displaystyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{RC}}u_{\text{r}}(t)+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{r}}(t)=0}$.

Umstellen zur Ausgangsgröße ergibt dann

${\displaystyle u_{\text{r}}(t)=RC{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(u_{\text{e}}(t)-u_{\text{r}}(t)\right)}$,

wodurch das differenzierende Verhalten offensichtlich wird. Die Gleichung kann der Laplace-Transformation unterzogen werden, wodurch

${\displaystyle u_{\text{r}}(s)=RCs\left(u_{\text{e}}(s)-u_{\text{r}}(s)\right)}$

folgt. Durch Division des Ausgangssignals ${\displaystyle u_{\text{r}}(t)}$ durch das Eingangssignal ${\displaystyle u_{\text{e}}(t)}$ ergibt sich die Übertragungsfunktion des RC-Hochpasses:

${\displaystyle G_{\text{HP}}(s)={\frac {u_{\text{r}}(s)}{u_{\text{e}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}}$

Durch Setzen von ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$ ergibt sich die Fourier-Transformation und damit die spektrale Repräsentation des Systems:

${\displaystyle G_{\text{HP}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {u_{\text{r}}(\mathrm {j} \omega )}{u_{\text{e}}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {\mathrm {j} \omega RC}{1+\mathrm {j} \omega RC}}}$.

Auch hier betrachten wir wieder die Lösung der Differentialgleichung für ein harmonisches Eingangssignal, dazu kann die Laplace-Transformation genutzt werden. Das Eingangssignal sei

${\displaystyle u_{\text{e,sin}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )}$,

dessen Laplace-Transformierte lautet

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )\right\}={\hat {u}}{\frac {\omega \cos(\varphi )+s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$.

Einsetzen in die Übertragungsfunktion liefert

${\displaystyle u_{\text{r,sin}}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}{\hat {u}}{\frac {\omega \cos(\varphi )+s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$.

Durch eine Umfangreiche Rücktransformation ergibt sich dann die Lösung der Differentialgleichung und damit das Transientenverhalten bei sinusförmigen Eingangssignal:

${\displaystyle u_{\text{r,sin}}(t)={\frac {{\hat {u}}{\text{e}}^{-{\frac {t}{RC}}}\left(\sin(\varphi )-\omega RC\cos(\varphi )\right)+{\hat {u}}\omega RC\left(\cos(\omega t+\varphi )+\omega RC\sin(\omega t+\varphi )\right)}{\left(\omega RC\right)^{2}+1}}}$

Ladevorgang

Exemplarisch ist hier die Systemantwort auf eine Sprungfunktion dargestellt. Angenommen, es liegt zunächst keine Spannung an und der Kondensator ist entladen (Q = 0). Ab dem Zeitpunkt t = 0 soll eine konstante Spannung U_max anliegen. Es fließt daraufhin ein Strom I(t), der den Kondensator auflädt. Mit der Ladung Q(t) im Kondensator wächst auch die am Kondensator anliegende Spannung U_C(t)

${\displaystyle U_{C}(t)={\frac {Q(t)}{C}}}$

bis maximal auf den Wert der angelegten äußeren Spannung, die deshalb hier U_max genannt wurde.

Für eine einfache Reihenschaltung teilt sich nach dem Maschensatz die Gesamtspannung auf die beiden Elemente, Kondensator und Ohmscher Widerstand, auf. Die Spannung am Widerstand ist demnach:

${\displaystyle U_{R}(t)=U_{\mathrm {max} }-U_{C}(t)}$.

Zum Zeitpunkt t = 0, wenn der Kondensator noch keine Ladung hat und daher keine Spannung trägt (U_C = 0), liegt am Ohmschen Widerstand daher die volle Spannung an (U_R = U_max) und wird mit zunehmender Aufladung des Kondensators geringer.

Nach dem ohmschen Gesetz ist der Strom proportional zur Spannung am Widerstand:

${\displaystyle U_{\mathrm {R} }(t)=R\cdot I(t)=R\cdot {\frac {\mathrm {d} Q(t)}{\mathrm {d} t}}=R\cdot {\dot {Q}}(t)}$.

Mit der sinkenden Spannung U_R sinkt daher auch der Ladestrom I. Mit der Anfangsbedingung Q(0) = 0 hat die Differentialgleichung

${\displaystyle U_{\mathrm {max} }=U_{C}(t)+U_{R}(t)={\frac {Q(t)}{C}}+R\cdot {\dot {Q}}(t)}$

die Lösung

${\displaystyle Q(t)=C\cdot U_{\mathrm {max} }\cdot (1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}})\,}$.

Entsprechend gilt für die Spannung am Kondensator:

${\displaystyle U_{\mathrm {C} }(t)=U_{\mathrm {max} }\cdot (1-\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}})\,}$.

Die Ladezeit des Kondensators wird also durch das Produkt aus dem elektrischen Widerstand R und der Kapazität C des Kondensators bestimmt. Dieses Produkt nennt man die Zeitkonstante ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \tau =R\cdot C\,}$.

Die Ladung und die Spannung am Kondensator wachsen zunächst stark und dann immer schwächer an und nähern sich asymptotisch ihrem Maximum. Theoretisch dauert es unendlich lange, bis U_C(t) = U_max ist. Für praktische Zwecke kann man als Ladezeit

${\displaystyle t_{L}=5\cdot \tau \,}$.

verwenden. Der Kondensator ist dann fast vollständig (mehr als 99 %) geladen.

Die Zeitkonstante τ markiert zugleich den Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert der Spannung erreicht. Der maximale Strom I_max = U_max/R fließt zum Zeitpunkt t = 0, wenn am Widerstand die volle Spannung U_max anliegt. Nach der Zeit τ wäre der Kondensator auf den Endwert geladen, wenn man ihn mit dem konstanten Strom I_max laden könnte.

Tatsächlich nimmt die Stromstärke bei konstanter angelegter Spannung jedoch mit der Zeit exponentiell ab:

${\displaystyle I(t)={\frac {U_{\mathrm {max} }-U_{C}}{R}}={\frac {U_{\mathrm {max} }}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}$.

Nach der Zeit ${\displaystyle t=\tau }$ beträgt der Strom nur noch 1/e (≈37 %) seines Anfangswertes und nach der Zeit ${\displaystyle t=5\tau }$ ist er auf weniger als 1 % abgefallen.

Entladevorgang

Wenn der Kondensator zu Beginn auf den Wert U_max geladen ist und über den Widerstand R entladen wird, sind die Verhältnisse ähnlich. Da keine äußere Spannung anliegt, liegt am Kondensator betragsmäßig die gleiche Spannung wie am Widerstand:

${\displaystyle U_{C}(t)=-U_{R}(t)}$.

Dann sind Spannung, Ladung und Entladungsstrom zu Beginn am größten und fallen exponentiell ab:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcl}U_{C}(t)&=&-U_{R}(t)&=&U_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\,,\\Q(t)&=&C\cdot U_{C}(t)&=&Q_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\,,\\I(t)&=&-{\frac {1}{R}}\cdot U_{C}(t)&=&I_{\mathrm {max} }\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.\\\end{array}}}$

Der Entladestrom ist bei der vorgegebenen Zählpfeilrichtung negativ.

Impulsantwort

Die Impulsantwort beschreibt den Ausgangsspannungsverlauf auf eine diracimpulsförmige Eingangsspannung. Der Ausgangsspannungsverlauf wird durch deren Zeitableitung beschrieben:

${\displaystyle {\dot {U}}(t)={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\frac {U_{q}}{\tau }}\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}$

Dabei ist ${\displaystyle {U_{q}}}$ die momentane Spannung am Widerstand, die eine Umladung des Kondensators bewirkt. Der Spannungsimpuls wird durch das RC-Glied integriert und hinterlässt eine Kondensatorladung, die sich anschließend in Form einer e-Funktion entlädt.

Die Spannungsanstiegsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}}$ (Volt pro Sekunde) ist eine wichtige Größe in der Elektronik und Leistungselektronik.

Periodische Signale

Die Filterwirkung wird insbesondere bei Rechtecksignalen deutlich; die Filterantwort setzt sich aus Segmenten des Lade- und Entladeverhaltens zusammen. Die Flankensteilheit des Signals wird somit geringer (und damit die Anstiegszeit länger), dementsprechend werden im Frequenzspektrum die höheren Frequenzen stark gedämpft. RC-Glieder werden dementsprechend zur Entstörung und als Tiefpass eingesetzt.

Die Flankensteilheit der Spannung am Kondensator bei einer Amplitude U₀ der Rechteck-Spannungsquelle sinkt vom unendlichen Wert der speisenden Rechteckspannung auf maximal

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}={\frac {U_{0}}{RC}}={\frac {U_{0}}{\tau }}}$.

ab. Der maximale Ladestrom (Spitzenstrom, Pulsstrom I_p) beträgt

${\displaystyle {I_{p}}={\frac {U_{0}}{R}}}$.

Diesen Strom müssen zum Beispiel mit einem RC-Entstörglied beschaltete Schaltkontakte oder Halbleiterschalter aushalten können.

Verhalten im Frequenzbereich

Tiefpass

Widerstand und Kondensator bilden einen frequenzabhängigen Spannungsteiler, der auch eine Phasenverschiebung von maximal ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (90°) bewirkt. Die Impedanzen ${\displaystyle Z}$ sind ${\displaystyle R}$ bzw. ${\displaystyle 1/(\mathrm {j} \omega C)}$. Für das RC-Glied gilt für eine harmonisch oszillierende Spannung der Frequenz ${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$:

${\displaystyle U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}}$

und somit für das Übertragungsverhalten, das als Quotient von Ausgangs- zur Eingangsspannung definiert ist:

${\displaystyle H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}={\frac {\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}{R+{\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} \omega RC}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}}\,}$,

wobei die normierte Frequenz Ω = ω/ω₀ sich aus der Division von Kreisfrequenz ω = 2πf und Grenz-Kreisfrequenz (Übergangsfrequenz, Eckfrequenz oder englisch cutoff frequency) ω_c = 1/τ = 1/(RC) ergibt. Daraus ergibt sich die Grenzfrequenz f_c, bei der Blindwiderstand und Widerstand den gleichen Wert annehmen, die Phasenverschiebung also ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$ (45°) und die Dämpfung etwa 3 dB beträgt:

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \cdot R\cdot C}}\,}$

Für tiefe Frequenzen Ω ≪ 1 ist H ungefähr 1, Ein- und Ausgangsspannung etwa gleich, weshalb man den Bereich auch engl. als Passband bezeichnet.
Für Frequenzen Ω ≫ 1 fällt H mit 20 dB pro Dekade = 6 dB pro Oktave ab. Der weggefilterte Bereich wird englisch mit Stopband bezeichnet.

Bei sehr tiefen Frequenzen, die deutlich kleiner als die Grenzfrequenz sind, fällt der Ladestrom des Kondensators nicht ins Gewicht und Eingangs- und Ausgangsspannung unterscheiden sich nur unmerklich. Die Phasenverschiebung beträgt annähernd 0°.

Steigt die Frequenz, dauert es – im Vergleich zur Schwingungsdauer – immer länger, bis der Kondensator auf die Eingangsspannung aufgeladen ist. Deshalb steigt die Phasenverschiebung.

Bei sehr hoher Frequenz strebt diese dem Grenzwert von 90° zu, allerdings wird dann die Spannung am Kondensator auch unmessbar klein.

Hochpass

Die Verschaltung als Hochpass unterscheidet sich von der des Tiefpasses durch Vertauschung von R und C. Demgemäß gilt

${\displaystyle U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}\,}$

und

${\displaystyle H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}={\frac {R}{{\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}+R}}={\frac {\mathrm {j} \omega RC}{1+\mathrm {j} \omega RC}}={\frac {\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}{1+\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}}\,}$,

Der Amplitudengang ist gegenüber dem Tiefpass entlang Ω = 1 gespiegelt, hohe Frequenzen können nahezu ungedämpft passieren.

Beschreibung im Spektralbereich

Mit einer analogen Herleitung erhält man für den Tiefpass

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+sRC}}\,}$,

eine Polstelle bei ${\displaystyle s=-1/RC}$.

Bei dem Hochpass

${\displaystyle H(s)={\frac {sRC}{1+sRC}}\,}$,

ergibt sich ebenfalls eine Polstelle bei ${\displaystyle s=-1/RC}$, zusätzlich eine Nullstelle im Ursprung. Das RC-Glied stellt damit einen Butterworth-Filter 1. Ordnung dar.

Weblinks

• Interaktive Darstellung des zeitlichen Verlaufs von Lade- und Entladevorgang. In: GeoGebra. Abgerufen am 5. Januar 2021 
• RC-Glied Berechnung Übergangsfrequenz und Zeitkonstante
• @1@2Vorlage:Toter Link/schulen.eduhi.atAnimation zum Auf- und Entladen des Kondensators (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Juli 2023. Suche in Webarchiven)