Riemann-Zerlegung

Eine Riemann-Zerlegung ist ein Paar einer Familie von Stützstellen ${\displaystyle \xi _{0}}$ bis ${\displaystyle \xi _{n({\mathcal {R}})}}$ und Zwischenstellen ${\displaystyle \alpha _{1}}$ bis ${\displaystyle \alpha _{n({\mathcal {R}})}}$,

${\displaystyle {\mathcal {R}}=((\xi _{j})_{j=0}^{n({\mathcal {R}})};(\alpha _{j})_{j=1}^{n({\mathcal {R}})})}$

die ein Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, folgendermaßen zerlegt:

${\displaystyle a=\xi _{0}<\xi _{1}<\ldots <\xi _{n({\mathcal {R}})}=b}$ und ${\displaystyle \alpha _{j}\in [\xi _{j-1},\xi _{j}],j=1,\ldots ,n({\mathcal {R}})}$

Das heißt die Randpunkte sind gleichzeitig die größte und die kleinste Stützstelle, und die Zwischenstellen liegen beliebig zwischen den Stützstellen.
Die Feinheit einer Riemann-Zerlegung ist dabei definiert als die maximale Differenz zweier aufeinanderfolgender Stützstellen:

${\displaystyle |{\mathcal {R}}|=\max\{(\xi _{j}-\xi _{j-1}):j=1,\ldots ,n({\mathcal {R}})\}}$

Die Menge aller Riemann-Zerlegungen eines Intervalls wird durch die Relation ${\displaystyle \preceq }$ zur gerichteten Menge:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\preceq {\mathcal {R}}_{2}:\Leftrightarrow |{\mathcal {R}}_{1}|\leq |{\mathcal {R}}_{2}|}$

Über dieser gerichteten Menge lassen sich jetzt Netze definieren, zum Beispiel ist das Riemann-Integral über solch einem Netz definiert.

Variation (Mathematik)