Woodall-Zahl

Eine Woodall-Zahl ist eine natürliche Zahl der Form:

W n = n ⋅ 2 n − 1 {\displaystyle W_{n}=n\cdot 2^{n}-1}

für eine natürliche Zahl n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} . Die ersten Woodall-Zahlen sind:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, 2047, 10239, 22527, 49151, 106495, 229375, 491519, 1048575, 2228223, 4718591, 9961471, 20971519, 44040191, … (Folge A003261 in OEIS)

Geschichte

Woodall-Zahlen wurden zuerst von Allan J. C. Cunningham und H. J. Woodall im Jahr 1917 beschrieben.[1] Dabei wurden beide inspiriert von James Cullen, der eine ähnliche Zahlenfolge definierte: die Cullen-Zahlen.

Ähnliche Folgen

Die Cullen-Zahlen sind definiert durch:

C n = n ⋅ 2 n + 1 , n ∈ N {\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1,n\in \mathbb {N} }

Infolge gilt:

C n − W n = 2 {\displaystyle C_{n}-W_{n}=2} .

Aufgrund dieser Ähnlichkeit werden Woodall-Zahlen auch als Cullen-Zahlen 2. Ordnung bezeichnet.[2]

Woodall-Primzahlen

Eine Woodall-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, wird als Woodall-Primzahl bezeichnet. Die ersten Exponenten n {\displaystyle n} , für die Woodall-Zahlen solche Woodall-Primzahlen darstellen, sind:

n {\displaystyle n} = 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602, … (Folge A002234 in OEIS)
W n {\displaystyle W_{n}} = 7, 23, 383, 32212254719, 2833419889721787128217599, … (Folge A050918 in OEIS)

Vor allem die größeren Woodall-Primzahlen wurden durch das BOINC-Projekt PrimeGrid gefunden.

Die bisher größte Woodall-Primzahl wurde am 22. März 2018 berechnet und lautet:

W 17016602 = 17016602 ⋅ 2 17016602 − 1 = 8508301 ⋅ 2 17016603 − 1 {\displaystyle W_{17016602}=17016602\cdot 2^{17016602}-1=8508301\cdot 2^{17016603}-1}

Diese Zahl hat 5.122.515 Stellen und wurde vom Italiener Diego Bertolotti, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.[3][4]

Es ist bekannt, dass es keine weiteren primen Woodall-Zahlen bis n < 14508061 {\displaystyle n<14508061} gibt.[5] Es wird aber vermutet, dass es unendlich viele Woodall-Primzahlen gibt.

Eigenschaften von Woodall-Zahlen

  • Fast alle Woodall-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen (bewiesen von Christopher Hooley im Jahr 1976).[6][7]
  • Die Primzahl p {\displaystyle p} teilt die Woodall-Zahl W p + 1 2 {\displaystyle W_{\frac {p+1}{2}}} , wenn das Jacobi-Symbol ( 2 p ) = + 1 {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1} ist.[6]
  • Die Primzahl p {\displaystyle p} teilt die Woodall-Zahl W 3 p − 1 2 {\displaystyle W_{\frac {3p-1}{2}}} , wenn das Jacobi-Symbol ( 2 p ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1} ist.[6]
  • Es gilt:
W 4 = 4 ⋅ 2 4 − 1 = 63 {\displaystyle W_{4}=4\cdot 2^{4}-1=63} und W 5 = 5 ⋅ 2 5 − 1 = 159 {\displaystyle W_{5}=5\cdot 2^{5}-1=159} sind beide durch drei teilbar.
Jede weitere sechste Woodall-Zahl W n {\displaystyle W_{n}} ist ebenfalls durch 3 {\displaystyle 3} teilbar. Somit ist W n {\displaystyle W_{n}} nur dann möglicherweise eine Woodall-Primzahl, wenn der Index n {\displaystyle n} nicht ein Vielfaches von 4 oder 5 (modulo 6) ist.
  • Die einzigen beiden bekannten Primzahlen, die Woodall-Primzahlen und gleichzeitig Mersenne-Primzahlen darstellen, sind (Stand: Mai 2019):
W 2 = M 3 = 7 {\displaystyle W_{2}=M_{3}=7} und W 512 = M 521 {\displaystyle W_{512}=M_{521}}

Verallgemeinerte Woodall-Zahlen

Zahlen der Form n ⋅ b n − 1 {\displaystyle n\cdot b^{n}-1} mit n + 2 > b {\displaystyle n+2>b} bezeichnet man als verallgemeinerte Woodall-Zahlen.

Ist diese Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Woodall-Primzahl.

Die Bedingung n + 2 > b {\displaystyle n+2>b} ist notwendig, denn ohne diese Bedingung wäre jede Primzahl p {\displaystyle p} eine verallgemeinerte Woodall-Primzahl, weil p = 1 ⋅ ( p + 1 ) 1 − 1 {\displaystyle p=1\cdot (p+1)^{1}-1} wäre.[6]

Die kleinsten n {\displaystyle n} , für die n ⋅ b n − 1 {\displaystyle n\cdot b^{n}-1} prim ist, sind für aufsteigendes b {\displaystyle b} = 1, 2, …:

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, … (Folge A240235 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Woodall-Primzahlen für Basen von b {\displaystyle b} zwischen 1 und 30.[8] Diese n {\displaystyle n} wurden zumindest bis 200000 untersucht. Wenn für n {\displaystyle n} die Bedingung n + 2 > b {\displaystyle n+2>b} nicht gilt, aber trotzdem die Zahl n ⋅ b n − 1 {\displaystyle n\cdot b^{n}-1} prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

b {\displaystyle b} n {\displaystyle n} , sodass n ⋅ b n − 1 {\displaystyle n\cdot b^{n}-1} prim ist untersucht bis OEIS-Folge
1 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, … (alle Primzahlen plus 1) alle Primzahlen Folge A008864 in OEIS
2 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, 17016602,… 14508061 Folge A002234 in OEIS
3 (1), 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, … 1058000 Folge A006553 in OEIS
4 (1, 2), 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, …, 1993191, … 1000000 Folge A086661 in OEIS
5 8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, … 1000000 Folge A059676 in OEIS
6 (1, 2, 3), 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, … 876000 Folge A059675 in OEIS
7 (2), 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, … 350000 Folge A242200 in OEIS
8 (1, 2), 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, … 513000 Folge A242201 in OEIS
9 10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, … 975000 Folge A242202 in OEIS
10 (2, 3, 8), 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, … 500000 Folge A059671 in OEIS
11 (2, 8), 252, 1184, 1308, … 500000 Folge A299374 in OEIS
12 (1, 6), 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, … 500000 Folge A299375 in OEIS
13 (2, 6), 563528, … 570008 Folge A299376 in OEIS
14 (1, 3, 7), 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, … 500000 Folge A299377 in OEIS
15 (2, 10), 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, … 500000 Folge A299378 in OEIS
16 167, 189, 639, … 500000 Folge A299379 in OEIS
17 (2), 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, … 400000 Folge A299380 in OEIS
18 (1, 2, 6, 8, 10), 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, … 400000 Folge A299381 in OEIS
19 (12), 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, … 400000 Folge A299382 in OEIS
20 (1, 18), 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, … 250000 Folge A299383 in OEIS
21 (2, 18), 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, … 200000
22 (2, 5), 140, 158, 263, 795, 992, 341351, … 200000
23 29028, … 200000
24 (1, 2, 5, 12), 124, 1483, 22075, 29673, 64593, … 200000
25 (2), 68, 104, 450, … 500000
26 (3, 8), 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, … 200000
27 (10, 18, 20), 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, … 450000
28 (2, 5, 6, 12, 20), 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, … 200000
29 26850, 237438, 272970, … 200000
30 (1), 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, … 200000

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Woodall-Primzahl ist 2740879 ⋅ 32 2740879 − 1 = 2740879 ⋅ 2 13704395 − 1 {\displaystyle 2740879\cdot 32^{2740879}-1=2740879\cdot 2^{13704395}-1} . Sie hat 4.125.441 Stellen und wurde am 26. Oktober 2019 von Ryan Propper entdeckt.[9][10]

Siehe auch

Literatur

  • J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

Weblinks

  • Cullen prime
  • Woodall prime

Einzelnachweise

  1. ↑ A. J. C Cunningham, H. J. Woodall: Factorisation of Q = ( 2 q ∓ q ) {\displaystyle Q=(2^{q}\mp q)} and ( q ⋅ 2 q ∓ 1 ) {\displaystyle (q\cdot {2^{q}}\mp 1)} . In: Messenger of Mathematics. 1917, S. 1 von 151. 
  2. ↑ Eric W. Weisstein: Woodall Number. Abgerufen am 25. Mai 2019 (englisch). 
  3. ↑ PrimeGrid’s Woodall Prime Search, 17016602·217016602 - 1. (PDF) PrimeGrid, abgerufen am 26. April 2018. 
  4. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Woodall Primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
  5. ↑ Weisstein, Eric W.: Woodall Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
  6. ↑ a b c d Chris K.Caldwell: Woodall Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016. 
  7. ↑ Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward: Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. In: RI: American Mathematical Society. 2003, ISBN 0-8218-3387-1, S. 94. 
  8. ↑ Liste der verallgemeinerten Woodall-Primzahlen mit Basis 3 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016. 
  9. ↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2740879·322740879 - 1. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020. 
  10. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Woodall. Prime Pages, abgerufen am 15. Januar 2020.