Constante de Bernstein

La constante de Bernstein, generalmente denotada con la letra griega β (beta), es una constante matemática que lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein y es igual a 0,2801694990....

Definición

Sea E n ( f ) {\displaystyle E_{n}{\bigl (}f{\bigr )}} el error de la mejor aproximación uniforme a una función real f ( x ) {\displaystyle f{\bigl (}x{\bigr )}} en el intervalo [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} por polinomios reales de no más de grado n {\displaystyle n} . En el caso de f ( x ) = | x | {\displaystyle f{\bigl (}x{\bigr )}=\left\vert x\right\vert } , Bernstein demostró[1]​ que el límite

β = lim n → ∞ 2 n E 2 n ( f ) , {\displaystyle \beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f),\,}

llamada constante de Bernstein, existe y entre 0,278 y 0,286. Su conjetura de que el límite es:

1 2 π = 0.28209 … . {\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}=0.28209\dots \,.}

fue refutado por Varga y Carpenter,[2]​ quienes calcularon

β = 0.280169499023 … . {\displaystyle \beta =0.280169499023\dots \,.}

Referencias

  1. ↑ Bernstein, S.N. (1914). «Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés». Acta Math. 37: 1-57. doi:10.1007/BF02401828. 
  2. ↑ Varga, Richard S.; Carpenter, Amos J. (1987). «A conjecture of S. Bernstein in approximation theory». Math. USSR Sbornik 57 (2): 547-560. Bibcode:1987SbMat..57..547V. MR 0842399. doi:10.1070/SM1987v057n02ABEH003086. 

Enlaces externos

(sucesión A073001 en OEIS)

Otras lecturas

  • Weisstein, Eric W. «Bernstein's Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.