Radical de Jacobson

En el área de teoría de anillos de matemáticas, el radical de Jacobson^[1]​ de un anillo ${\displaystyle R}$ es el ideal ${\displaystyle I}$ cuyos elementos son aquellos que tienen la propiedad de anular todos los ${\displaystyle R}$-módulos simples por la derecha. Si se cambia la definición haciendo referencia a los ${\displaystyle R}$-módulos por la izquierda, el conjunto resultante es el mismo ideal, de modo que la definición es ambidiestra. ${\displaystyle I}$ (el radical de Jacobson) se suele escribir como ${\displaystyle j(R)}$

En álgebra conmutativa el radical de Jacobson ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ (también denotado como ${\displaystyle J(R)}$ si ${\displaystyle R}$ es un anillo) de un anillo conmutativo con unitario A se define como la intersección de todos los ideales maximales de A. El radical de Jacobson es atribuido al matemático norteamericano Nathan Jacobson (1910-1999).

Propiedad

${\displaystyle x\in J(R)}$ si y sólo si ${\displaystyle 1-xy}$ es un elemento unitario en ${\displaystyle R}$ para cada ${\displaystyle y\in R}$.

Demostración

Supómgase que ${\displaystyle 1-xy}$ no sea unitario. Entonces pertenece a algún ideal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$; pero ${\displaystyle x\in J(R)}$, luego ${\displaystyle xy\in {\mathfrak {m}}}$ y por tanto ${\displaystyle 1\in {\mathfrak {m}}}$, lo cual es absurdo. Recíprocamente, supóngase que ${\displaystyle x\notin {\mathfrak {m}}}$ para algún ideal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ y ${\displaystyle x}$ son generados por el ideal unitario ${\displaystyle \langle 1\rangle }$, así que tenemos que ${\displaystyle u+xy=1}$ para algún ${\displaystyle u\in {\mathfrak {m}}}$ y algún ${\displaystyle y\in R}$. Por lo que ${\displaystyle 1-xy\in {\mathfrak {m}}}$ y, por lo tanto, no es unitario.

Referencias

Bibliografía

• M.F. Atiyah & I.G. MacDonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. University of Oxford. Addison-Wesley Publishing Company.