Regla del trapecio

En análisis numérico la regla del trapecio es un método de integración, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de ${\displaystyle f(x)}$ por el de la función lineal, que pasa a través de los puntos ${\displaystyle (a,f(a))}$ y ${\displaystyle (b,f(b))}$. La integral de esta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal.

Regla del trapecio Simple

Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio de primer orden, y esta es representada por:

${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

Entonces al sustituir en la integral tenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P_{1}(x)\,dx\\&\approx \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,dx\end{aligned}}}$

Por último al resolver esa integral nos queda:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$

Cálculo del error

El término de error corresponde a:

${\displaystyle E_{t}=-{\frac {1}{12}}f''(\xi )(b-a)^{3}}$

Siendo ${\displaystyle \xi }$ un número perteneciente al intervalo ${\displaystyle [a,b]}$.

Regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que ${\displaystyle f}$ es continua y positiva en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$. De tal modo la integral definida ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de ${\displaystyle f}$ y el eje ${\displaystyle Ox}$, desde ${\displaystyle x=a}$ hasta ${\displaystyle x=b}$. Primero se divide el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ subintervalos, cada uno de ancho ${\displaystyle \Delta x=(b-a)/n}$.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

Donde ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ y ${\displaystyle n}$ es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}$

El error en esta aproximación se corresponde con :

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f''(\xi )}$

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ para ${\displaystyle n=6}$

Primero se obtiene ${\displaystyle h}$, y después esta, de los límites de la integral que representan ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ y para ${\displaystyle n=6}$ queda: ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle ={\frac {2-0}{6}}={\frac {1}{3}}}$.

Y ahora se sustituye en la fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

y queda:

${\displaystyle \int _{0}^{2}3x\,dx}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}[3(0)+2[3(0+1\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+2\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+3\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+4\cdot {\frac {1}{3}})]+2[3(0+5\cdot {\frac {1}{3}})]+3(2)]=6}$.

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.

Véase también

• Regla de Simpson
• Fórmulas de Newton–Cotes

Referencias

• Hostetler Edwards, Larson: Cálculo I (Octava edición)
• Wikisource contiene obras originales sobre la Generalización de la fórmula de Simpson. (La regla de los trapecios como caso particular de la generalización de la regla de Simpson)