Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, Lp espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g Lp(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere Lp(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira,
≥ 0 baten baterako f =
g edo g =
f dela esan nahi duena.
Minkowskiren desberdintza Lp(S)-ko desberdintza triangeluarra da.
Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x1, ..., xn, y1, ..., yn guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).
Frogapena
Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,
![{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9814cab483c48d81283bb8f898c113bbadb5043c)
Alabaina, hor erabiltzen da
funtzio ganbila izatea
multzoan (
> 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846b23bf28f35cd469afa0f634ad3edecd7e60d1)
Beraz,
![{\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07942fb6796c5af625aed609049949e2a1a1652a)
Orain,
adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun
ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d7c48d18c9d59b7919983c2c9e8a41e910412)
![{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263db0a83f10b2bc91041d0b766ae3e1c1fddd2e)
![{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1160ac979b6765a2c7ad2e92db447e05b8bec2dc)
![{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142f483bdab7070888ff1b112a8b4fd0b9b22c5f)
![{\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c975f9e72f091e6aaa8153d01a556ebd3f4dde48)
Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider
egitean.
Kanpo estekak