Zenbaki alai

Zenbaki alaiak prozedura honen bidez definitzen dira: zenbaki natural batekin hasita, zenbakia ordezkatzen da bere digituen karratuen baturarekin, eta prozesu hau errepikatzen da zenbakia 1-era heldu arte, edo bukle batean (1-a bertan ez dago) sartu arte. Prozesua 1-ekin amaitzen diren zenbakiak zenbaki alaiak dira, besteak aldiz, zorigaiztoko zenbakiak izango dira. Zenbaki bat lehena eta alaia bada, zenbaki lehen alaia da.

Definizioa

Izan bedi ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ non ${\displaystyle n_{i}=n^{2}}$, sekuentzia bat definitzen da non ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$ non ${\displaystyle n_{i+1}}$den ${\displaystyle n_{i}}$ digituen karratuen batura. Orduan, ${\displaystyle n}$ alaia da baldin eta soilik baldin existitzen da ${\displaystyle i}$ azpiindize bat non ${\displaystyle n_{i+1}=1}$.

Adibidez, 7 zenbaki alaia da, zeren eta:

7²= 49

4²+9²= 97

9²+7²= 130

1²+3²+0²= 10

1²+0²=1

${\displaystyle n}$ alaia ez bada, prozesua (8 periodoko) bukle batean sartuko da:

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Formula

Existitzen da formula errekurtsiboa zenbaki bat alaia dela ikusteko.

Izan bitez ${\displaystyle b_{1}}$ konprobatu behar den zenbakia. Baldin eta ${\displaystyle b_{f}=1}$ momenturen batean, orduan ${\displaystyle b_{1}}$ alaia izango da:

${\displaystyle b_{f}=\sum _{n=0}^{\lfloor ({\frac {\log(b(-1+f))}{\log(10)}})\rfloor }{(-10\,\lfloor ({10}^{-1-n}\,b(-1+f))\rfloor +\lfloor {\frac {b(-1+f)}{{10}^{n}}}\rfloor )}^{2}}$

Zenbaki alaien amaigabetasuna

Erraza da konprobatzea infinitu zenbaki alaia existitzen direla, zeren eta ${\displaystyle 10^{n},\forall n\in \mathbb {N} }$ motatako zenbaki guztiak alaiak direlako. Horretaz aparte, ere konproba dezakegu infinitu zorigaiztoko zenbakiak egongo direla, ${\displaystyle 2*10^{n},\forall n\in \mathbb {N} }$ motatako zenbaki guztiak zorigaiztoko zenbakiak direlako.

Zenbaki alaien zerrenda

Zifra bakarreko bi zenbaki alai daude: 1 eta 7. (7 gainera zenbaki lehen alaia da)

Bi zifrako 17 zenbaki alai daude: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 eta 97. (13, 19, 23, 31, 79 eta 97 zenbaki lehen alaiak dira).

Hiru zifrako 123 zenbaki alai daude: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989 eta 998.

Zenbaki alai lehen

Nahiz eta infinitu zenbaki lehen egon, ez da ezagutzen ea infinitu zenbaki alai lehen existitzen diren.^[1]

Lehenengo zenaki alai lehenak 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 139, 167, 193, 239,...

Lehenengo eta bigarren lehen repitunoak (1111111111111111111 eta 11111111111111111111111) dira, gainera, zenbaki alaiak.

Zenbaki alai perfektu

Ezagutzen diren 48 zenbaki perfektuetatik, bakarrik hiruk zenbaki alai dira: 28, 496 eta 8128.

Kasu honetan berdin gertatzen da, ez da ezagutzen ea infinitu zenbaki alai perfektu existitzen diren.

Alaitasuna beste oinarrietan

Oinarri binarioan, zenbaki guztiak alaiak dira. Bakarrik zenbatu behar da zenbat 1 dauden zenbakian, eta Hamming-en pisua deitzen zaio kantitate horri. Zenbaki baten Hamming-en pisua beti da zenbaki bera baino txikiagoa, horregatik, oinarrio binarioan zenbakien Hamming-en pisua 1 izango da.

Erreferentziak

1. ↑ Guy, Richard K.. (1981). «Additive Number Theory» Unsolved Problems in Number Theory (Springer New York): 58–78. (Noiz kontsultatua: 2021-12-13).

Kanpo estekak

• Datuak: Q44535