Eksentrinen anomalia

Eksentrinen anomalia E on taivaankappaleen paikkavektorin kulman ja periaspiksen välinen kulma mitattuna keskuskappaleesta heijastettuna apuympyrälle. Se on ellipsirataa kiertävän taivaankappaleen paikkaa laskettaessa käytetty apuluku, joka saadaan laskettua radan eksentrisyydestä ja keskianomaliasta.

Eksentrinen anomalia

Keskianomalia M, eksentrinen anomalia e ja todellinen anomalia ν.

Kun tunnetaan kappaleen etäisyys keskuskappaleesta r, radan isoakselin puolikas a ja kappaleen radan eksentrisyys e, saadaan eksentrine anomalia E

E = arccos ⁡ 1 − | r | / a e {\displaystyle E=\arccos {{1-\left|\mathbf {r} \right|/a} \over e}}

Keskianomalian M ja eksentrisen anomalian e välinen suhde on

M = E − e sin ⁡ E . {\displaystyle M=E-e\,\sin {E}.\,\!}

Yhtälöä voi ratkoa iteroiden aloittaen

E 0 = M {\displaystyle E_{0}=M} ja käyttäen yhtälöä E i + 1 = M + e sin ⁡ E i {\displaystyle E_{i+1}=M+e\,\sin E_{i}} .

Jos eksentrisyys e on alle 0.6627434 eli e < 0.6627434 {\displaystyle e<0.6627434} niin

  • E 1 = M + e sin ⁡ M {\displaystyle E_{1}=M+e\,\sin M}
  • E 2 = M + e sin ⁡ M + 1 2 e 2 sin ⁡ 2 M {\displaystyle E_{2}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M}
  • E 3 = M + e sin ⁡ M + 1 2 e 2 sin ⁡ 2 M + 1 8 e 3 ( 3 sin ⁡ 3 M − sin ⁡ M ) {\displaystyle E_{3}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M+{\frac {1}{8}}e^{3}(3\sin 3M-\sin M)} .

E':n ja ν:n, todellisen anomalian väline suhde on

cos ⁡ ν = cos ⁡ E − e 1 − e ⋅ cos ⁡ E {\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}}}

tai

tan ⁡ ν 2 = 1 + e 1 − e tan ⁡ E 2 . {\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.\,}

Säteen eli paikkavektorin itseisarvon ja anomalian suhde on

r = a ( 1 − e ⋅ cos ⁡ E ) {\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!}

ja

r = a ( 1 − e 2 ) ( 1 + e ⋅ cos ⁡ ν ) . {\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {\nu })}.\,\!}