Fermat’n luku

Fermat’n luku on luku muotoa ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$, missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Ensimmäiset Fermat’n luvut ovat:^[1]

Näistä luvut 3, 5, 17, 257 ja 65 537 ovat alkulukuja, mutta F₅ onkin yhdistetty luku. Ei tiedetä, onko Fermat’n lukujen joukossa yhtään alkulukua F₄:n jälkeen. Fermat’n luvut liittyvät läheisesti säännöllisten monikulmioiden konstruoimiseen: Gauss todisti, että säännöllinen monikulmio on mahdollista piirtää harpilla ja viivoittimella, jos ja vain jos monikulmion kulmien lukumäärä on muotoa ${\displaystyle 2^{k_{0}}F_{k_{1}}F_{k_{2}}\cdots F_{k_{n}}}$, missä ${\displaystyle F_{k_{1}},\cdots ,F_{k_{n}}}$ ovat erisuuruisia Fermat’n alkulukuja.

Fermat’n luvut on nimetty harrastelijamatemaatikko Pierre de Fermat’n (1601–1665) mukaan. Tämä itse otaksui, että kaikki Fermat’n luvut olisivat alkulukuja. Otaksuman kumosi Leonhardt Euler vuonna 1732 osoittamalla, että ${\displaystyle F_{5}=641\cdot 6700417}$. Myöhemmin suuremmillekin Fermat’n luvuille on löydetty alkutekijöitä ja moni lukuteoreetikko uskookin, että muita kuin Fermat’n tuntemia Fermat’n alkulukuja ei merkittävissä määrin ole olemassa.

Pépinin testillä voidaan selvittää annetusta Fermat’n luvusta, onko se alkuluku.

Lähteet

Aiheesta muualla

• Fermat Prime – Wolfram MathWorld (englanniksi)
• Fermat’n lukujen alkutekijöitä (Arkistoitu – Internet Archive)
• Projekti, joka etsii Fermat’n lukujen alkutekijöitä