Neliö (algebra)

Luvun neliö on algebrassa luku, joka saadaan, kun alkuperäinen luku kerrotaan itsellään. Luvun ${\displaystyle x}$ neliö on ${\displaystyle x\cdot x=x^{2}}$. Luvun neliöön korottaminen tarkoittaa siis luvun kertomista itsellään.

Nimitys tulee siitä, että jos geometrisen neliön sivun pituuden mittaluku (eli sivun pituus) on ${\displaystyle x}$, niin tämän neliön muotoisen kuvion pinta-ala on ${\displaystyle x^{2}}$.

Kaikkien nollasta eroavien kokonais- ja reaalilukujen neliö on positiivinen luku.

Kokonaislukua, joka on jonkin kokonaisluvun neliö, kutsutaan neliöluvuksi (tai joskus täydelliseksi neliöksi). Esimerkiksi 25 on neliöluku, koska ${\displaystyle 25=5^{2}}$.

Neliöiden erotus

Kahden neliöluvun ${\displaystyle x^{2}}$ ja ${\displaystyle y^{2}}$ erotus on laskettavissa helposti kaavalla ${\displaystyle (x-y)(x+y)}$. Esimerkiksi ${\displaystyle 10^{2}-5^{2}}$ lasketaan ${\displaystyle (10-5)(10+5)=5\cdot 15=75}$.^[1]

Neliöjono

Neliöjonon summa ${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}}$ lasketaan kaavalla ${\displaystyle {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.^[2]

Yleisiä säännönmukaisuuksia neliöillä

Kokonaislukujen neliöt päättyvät poikkeuksetta seuraaviin numeroihin: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Jos potenssiin korotettava kantaluku päättyy numeroon 5, neliön kaksi viimeistä numeroa ovat aina 25, siis viitoseen päättyvien neliöitten kaksi viimeistä numeroa ovat aina 25. Esimerkiksi:

${\displaystyle 35^{2}=1225}$

Nollaan päättyvien lukujen neliöt päättyvät aina kaksinkertaiseen määrään nollia verrattuna alkuperäiseen, esimerkiksi:

${\displaystyle 70^{2}=4900}$

Jos alkuperäiseen potenssiin korotettavaan lukuun lisätään 50, sen neliö päättyy aina kahteen samaan numeroon. Tästä voidaan myös johtaa sääntö, että jos luku päättyy kahteen tiettyyn numeroon, myös sen neliöt päättyvät poikkeuksetta samoihin kahteen numeroon, koska 50+50 = 100.^selvennä Esimerkkejä:

${\displaystyle 24^{2}=576}$

${\displaystyle 74^{2}=5476}$

Tästä voidaan siis johtaa sääntö, että kaikkien numeroihin 24 tai 74 päättyvien kokonaislukujen neliöt päättyvät aina numeroihin 76. Toinen esimerkki parittomilla luvuilla:

${\displaystyle 9^{2}=81}$

${\displaystyle 59^{2}=3481}$

Jälleen saadaan johdettua sääntö, että kaikkien numeroihin 09 tai 59 päättyvien kokonaislukujen neliöt päättyvät aina numeroihin 81. Ylläolevassa ylemmässä esimerkissä yhdeksikön eteen voidaan ajatella nolla.

Parilliset neliöt ovat aina jaollisia neljällä, koska ${\displaystyle (2n)^{2}=4n^{2}}$.

Jos parittomasta neliöstä vähennetään luku 1, saadaan aina kahdeksalla jaollinen luku, koska ${\displaystyle (2n+1)^{2}-1=4n(n+1)}$ ja joko ${\displaystyle n}$ tai ${\displaystyle n+1}$ on aina parillinen. Esimerkiksi:

${\displaystyle 75^{2}-1=5625-1=5624=8\cdot 703}$

${\displaystyle 21^{2}-1=441-1=440=8\cdot 55}$

Katso myös

• Toisen asteen polynomifunktio ja Potenssifunktio
• Neliöjuuri
• Kuutio (algebra)
• Analyyttinen geometria
• Pythagoraan kolmikko

Lähteet