Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen
suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna
[1]
Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:
- jos
, niin sarja suppenee. - jos
, niin sarja hajaantuu. - jos
, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.
Esimerkkejä
Suppeneva
Tutkitaan sarjan
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc28f5a7f2a0ff8fc3ec0be1203877db23e6c8c5)
suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322f9ed2108f48a57eda7f5b64f26487ad8ea3e4)
Koska raja-arvo
on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.
Hajaantuva
Tutkitaan sarjan
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ee08ecf9c2d8b928b5b64b0c8ae4fed1fb905f)
suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96b55e8186960c6f002fa3749cd2722e1c0b69e)
Koska
on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.
Testi ei kerro suppenemisesta
Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70a8b585b684d7df2220cd9318cf8b6bcdb3542)
niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.
Esimerkiksi sarja
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b7911ff7a283eecb743985ae43453383dbd1ad)
hajaantuu, mutta
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df6177cea5dd80a47b5bac0f935deb004e38b703)
Sarja
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b42204c71e0c7128ff6f317abcb1deea9c6a946)
puolestaan suppenee itseisesti, mutta
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41b74b3be6c7d84d61c9222782c3915f5b83ee9)
Sarja
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d9da8f4ddd19ca2a89113d6af2b5a83934e54c)
suppenee ehdollisesti, mutta
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781ebd30e7c9beb480f1888f0e8ee17d12b257da)
Katso myös
- Vertailuperiaate
- Juuritesti
- Integraalitesti
Lähteet
- ↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 120 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Kirjallisuutta
- Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3