Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen n = 1 a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

lim n | a n + 1 a n | = L . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L.} [1]

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

  • jos L < 1 {\displaystyle L<1\!} , niin sarja suppenee.
  • jos L > 1 {\displaystyle L>1\!} , niin sarja hajaantuu.
  • jos L = 1 {\displaystyle L=1\!} , niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä

Suppeneva

Tutkitaan sarjan

n = 1 n e n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

lim n | a n + 1 a n | = lim n | n + 1 e n + 1 n e n | = lim n | n + 1 e n + 1 e n n | = lim n | n + 1 n e n e n e | = lim n | ( 1 + 1 n ) 1 e | = 1 1 e = 1 e < 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.}

Koska raja-arvo L = 1 e {\displaystyle L={\frac {1}{e}}} on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

Hajaantuva

Tutkitaan sarjan

n = 1 e n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

lim n | a n + 1 a n | = lim n | e n + 1 n + 1 e n n | = lim n | e n + 1 n + 1 n e n | = lim n | n n + 1 e n e e n | = lim n | ( 1 1 n + 1 ) e | = 1 e = e > 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.}

Koska L = e 2,718 {\displaystyle L=e\approx 2{,}718\dots } on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisesta

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

lim n | a n + 1 a n | = 1 , {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1,}

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

n = 1 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}

hajaantuu, mutta

lim n | 1 1 | = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}

Sarja

n = 1 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

lim n | 1 ( n + 1 ) 2 1 n 2 | = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}

Sarja

n = 1 ( 1 ) n 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}

suppenee ehdollisesti, mutta

lim n | ( 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ( 1 ) n n | = 1. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}

Katso myös

  • Vertailuperiaate
  • Juuritesti
  • Integraalitesti

Lähteet

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 120 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3