Potenssisarja

Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}(x-c)^{i}}$. ^[1]

Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin ${\displaystyle c=0}$ ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$

Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).

Sarjakehitelmän neliö

Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...=}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$

Tämän neliö on

${\displaystyle f^{2}(x)=}$ ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }a_{m}x^{m}}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=}$ ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m}a_{n}x^{m+n}=}$ ${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{p=m}^{\infty }a_{m}a_{p-m}x^{p}}$

jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:

${\displaystyle p-m\geq 0}$

eli

${\displaystyle p\geq m}$

Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan

${\displaystyle f^{2}(x)=}$ ${\displaystyle \sum _{p=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\ x^{p}}$

Merkitään tässä vielä

${\displaystyle b_{p}=}$ ${\displaystyle \sum _{m=0}^{p}a_{m}a_{p-m}\ }$

jolloin voidaan kirjoittaa

${\displaystyle f^{2}(x)=}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$

jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista

${\displaystyle b_{n}=}$ ${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}a_{m}a_{n-m}\ }$

Lähteet