Sarrus’n sääntö

Sarrus'n sääntö: Kolmen vasemmanpuoleisen sarakkeen determinantti saadaan laskemalla yhteen paksujen viivojen osoittamat tulot ja vähentämällä katkoviivojen osoittamat tulot.

Sarrus’n sääntö on menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Pierre Frédéric Sarrus’n (1798–1861) mukaan.

Olkoon 3×3-matriisi

M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) . {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}

Sen determinantti voidaan laskea seuraavasti:

Lisätään matriisin oikealle puolelle kaksi ensimmäistä saraketta, jolloin sarakkeita on viisi vierekkäin. Seuraavaksi lasketaan yhteen samansuuntaisten ristikkäisten viivojen peittämien alkioiden tulot. Lopuksi vähennetään yläviistoon kulkevilta viivoilta saatu summa alaviistoon kulkevilta viivoilta saadusta summasta. Näin saadaan:

det ( M ) = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12 . {\displaystyle \det(M)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}.}
Vaihtoehtoinen pystysuuntainen muoto

Samaa lävistäjiin perustuvaa menetelmää voidaan soveltaa myös 2×2-matriiseihin.

Voidaan myös helpottaa 3×3-matriisin laskentaa etenemällä vaiheittain, eli muuttaa matriisi ensin kolmeksi ylimmän rivin alkioilla kerrotuksi 2×2-matriisiksi, jotka sitten lasketaan samalla periaatteella kuin muutoinkin.

det ( M ) = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 21 a 12 . {\displaystyle \det(M)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.}

Molemmat tilanteet ovat Leibnizin kaavan erikoistapauksia; kaavasta ei kuitenkaan voida johtaa vastaavia muistisääntöjä suuremmille matriiseille. Sarrus’n sääntö voidaan myös johtaa tarkastelemalla 3×3-matriisin Laplacen laajennusta.

Lähteet

  • Cohn, Paul: Elements of Linear Algebra, s. 69. CRC Press, 1994. ISBN 9780412552809. Teoksen verkkoversio.
  • Khattar, Dinesh: The Pearson Guide to Complete Mathematics for AIEEE, s. 6-2. Pearson Education India, 2010. ISBN 978-81-317-2126-1. Teoksen verkkoversio.
  • Fischer, Gerd: Analytische Geometrie, s. 145. Wiesbaden: Vieweg, 1985. ISBN 3-528-37235-4. Teoksen verkkoversio.
Käännös suomeksi
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Rule of Sarrus