Tilavuusintegraali

Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali^[1] on kolmiulotteisessa avaruudessa ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona ${\displaystyle A=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times [a_{3},b_{3}]}$ Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on^[2] ${\displaystyle \int _{A}f\ =\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}\int _{a_{3}}^{b_{3}}f(x,y,z)dxdydz}$

Jos ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:^[2]

Valitaan suorakulmainen särmiö ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ siten, että D sisältyy A:hen eli ${\displaystyle D\subset A}$. Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio f_D siten, että

1. ${\displaystyle f(x,y,z)=f(x,y,z)}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\in D}$, ja
2. ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\notin D}$

Nyt määritellään, että

${\displaystyle \int _{D}f=\int _{D}f_{D}}$.

Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.^[2]

Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:^[2]

${\displaystyle \int _{D}f=\lim _{t\to \infty }\int _{D\cap R_{t}}f}$, kun ${\displaystyle R_{t}=\{(x,y,z)||x|\leq t,|y|\leq t,|z|\leq t\}}$,

mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χ_D, jonka arvo on

1. ${\displaystyle \chi _{D}(x,y,z)=1}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\in A}$, ja
2. ${\displaystyle \chi _{D}(x,y,z)=0}$, kun ${\displaystyle (x,y,z)\notin A}$,

Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion ${\displaystyle chi_{D}}$ tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

${\displaystyle V=\int _{D}\chi _{D}}$,

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.^[2]

Koska &chi_D saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ${\displaystyle D\subset A}$), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

${\displaystyle V=\int A\chi _{D}}$.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:

${\displaystyle V=\int _{D}1}$

Katso myös: Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)

Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot ${\displaystyle D,D'\subset \mathbb {R} ^{n}}$ avoimia, ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ja ${\displaystyle {\overline {D'}}}$ kompakteja, ${\displaystyle \partial D}$ ja ${\displaystyle \partial D'}$ nollajoukkoja sekä ${\displaystyle \omega }$ bijektiivinen ${\displaystyle C^{1}}$-kuvaus, ${\displaystyle \omega :D\rightarrow D'}$. Jos ${\displaystyle f:{\overline {D'}}\rightarrow \mathbb {R} }$ on jatkuva, niin

${\displaystyle \int _{D'}f\,dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\int _{D}f(\omega )|\tau (\omega )|\,dx_{1}\ldots \,dx_{n}}$,

missä ${\displaystyle \tau (\omega )}$ on kuvauksen ${\displaystyle \omega }$ jacobiaani eli Jacobin determinantti

${\displaystyle \tau (\omega )=det\omega '={\begin{vmatrix}\partial _{1}\omega _{1}&\cdots &\partial _{n}\omega _{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\partial _{1}\omega _{n}&\cdots &\partial _{n}\omega _{n}\end{vmatrix}}}$,

ja ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ovat ${\displaystyle \omega }$:n koordinaattifunktiot.^[3]

Kuvaukselle ${\displaystyle \omega :\left(0,R\right)\times \left[0,2\pi \right]\times \left[0,\pi \right)\rightarrow B({\overline {0}},R)}$, ${\displaystyle \omega (r,\rho ,\theta )=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$, missä

${\displaystyle {\begin{cases}\omega _{1}=r\sin \theta \cos \rho \\\omega _{2}=r\sin \theta \sin \rho \\\omega _{3}=r\cos \theta \end{cases}}}$

saadaan Jacobin determinantiksi ${\displaystyle |\tau (\omega )|=r^{2}\sin \theta }$, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\rho ,\theta )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\rho \,d\theta }$

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=r\cos \rho \\x_{2}=r\sin \rho \\x_{3}=x_{3}\end{cases}}}$

Jacobin determinantiksi ${\displaystyle |\tau (x)|=r}$ ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\rho ,z)r\,dr\,d\rho \,dz.}$

Lasketaan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla ${\displaystyle \int _{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}}$ pallokoordinaatteihin sijoituksella:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}&=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }1\cdot r^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,dr\\&=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }2\pi r^{2}\sin \theta \,d\theta \,dr\\&=\int _{0}^{R}4\pi r^{2}\,dr\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Pintaintegraali