Urysonin lemma

Urysonin lemma topologiassa kuuluu seuraavasti: Olkoon ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{4}}$-avaruus ja ${\displaystyle A,B\subset X}$ erillisiä suljettuja joukkoja. Tällöin on olemassa sellainen jatkuva funktio ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$, että ${\displaystyle fA=\{0\}}$ ja ${\displaystyle fB=\{1\}}$.^[1] Toisin sanoen funktio saa arvon 0 kaikissa joukkoon A ja arvon 1 kaikissa joukkoon B kuuluvissa pisteissä.

Urysonin lemman avulla voidaan todistaa muun muassa Urysonin metristyslause, jonka mukaan jokainen säännöllinen avaruus, jolla on numeroituva kanta, on metristyvä, sekä Tietzen jatkolause, joka osoittaa erään kriteerin sille, milloin avaruuden osajoukossa määritelty jatkuva funktio voidaan laajentaa koko avaruuteen.^[1]

• PlanethMath: Proof of Urysohn's lemma (englanniksi)