Ympäristö (topologia)

Topologiassa pisteen ympäristöllä tarkoitetaan yleensä avointa joukkoa, joka sisältää kyseisen pisteen. Formaalimmin, joukko ${\displaystyle U\subset X}$ on pisteen ${\displaystyle a\in X}$ ympäristö, jos ${\displaystyle U}$ on avoin joukossa ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle a\in U}$. Metrisissä avaruuksissa jokainen ${\displaystyle a}$:n ympäristö ${\displaystyle U}$ sisältää kuulaympäristön ${\displaystyle B(a,r)\subset U}$.^[1]

Joukko ${\displaystyle U}$ on joukon ${\displaystyle A}$ ympäristö, kun pätee ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ja ${\displaystyle U}$ on avoin joukko.^[1]

Toisinaan pisteen ympäristölle käytetään seuraavaa, edellisestä hieman poikkeavaa määritelmää. Olkoon ${\displaystyle X}$ topologinen avaruus ja ${\displaystyle x\in X}$. Tällöin ${\displaystyle V}$ on ${\displaystyle x}$:n ympäristö, jos on olemassa ${\displaystyle X}$:n avoin joukko ${\displaystyle U}$ siten, että ${\displaystyle x\in U\subset V}$.^[1]

Pisteen x ympäristökanta ${\displaystyle \mathbb {B} }$ on sellainen kokoelma pisteen x ympäristöjä, että jokainen pisteen x ympäristö sisältää osajoukkonaan jonkin tähän kokoelmaan kuuluvan ympäristön.^[2]

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
• Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8.

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.