Équation de Ramanujan-Nagell

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, l'équation de Ramanujan-Nagell est une équation liant un carré parfait comme étant une puissance de deux moins sept. C'est un exemple d'équation diophantienne exponentielle, une équation à résoudre en entiers où l'une des variables apparaît comme un exposant. Celle-ci est nommée d'après Srinivasa Ramanujan, qui a conjecturé qu'il n'a que cinq solutions entières, et d'après Trygve Nagell, qui a prouvé la conjecture.

Équation et solution

L'équation est

2 n − 7 = x 2 {\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}

et les seules solutions en entiers naturels n et x sont n = 3, 4, 5, 7 et 15.

Cette solution a été conjecturée en 1913 par le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan[1], proposée indépendamment en 1943 par le mathématicien norvégien Wilhelm Ljunggren[2], et prouvée en 1948 par le mathématicien norvégien Trygve Nagell[3],[4]. Les valeurs de x correspondant aux valeurs de n ci-dessus sont respectivement :

x = 1, 3, 5, 11 et 181[5].

Nombres triangulaires de Mersenne

Le problème de trouver tous les entiers de la forme 2b − 1 (nombre de Mersenne) qui sont des nombres triangulaires est équivalent à l'équation de Ramanujan-Nagell :

2 b − 1 = y ( y + 1 ) 2 ⟺   2 b + 3 − 8 = 4 y 2 + 4 y ⟺   2 b + 3 − 7 = ( 2 y + 1 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Longleftrightarrow &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}.\end{aligned}}}

Les valeurs de b dans cette équation sont juste celles de n − 3 dans l'équation de Ramanujan-Nagell, et les nombres de Mersenne triangulaires correspondants (également appelés nombres de Ramanujan-Nagell) sont :

y ( y + 1 ) 2 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 8 {\displaystyle {\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}}

pour x = 1, 3, 5, 11 et 181, donnant 0, 1, 3, 15 et 4095 (suite A076046 de l'OEIS).

Équations de type Ramanujan-Nagell

Une équation de la forme

x 2 + D = A B n {\displaystyle x^{2}+D=AB^{n}}

pour D, A , B fixés et d'inconnues x, n est dit de type Ramanujan-Nagell. Un résultat de Carl Siegel implique que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[6]. L'équation avec A = 1, B = 2 a au plus deux solutions, sauf si D = 7. Il y a une infinité de valeurs de D pour lesquelles il n'existe que deux solutions[5].

Équations de type Lebesgue-Nagell

Une équation de la forme

x 2 + D = A y n {\displaystyle x^{2}+D=Ay^{n}}

pour D, A fixés et d'inconnues x, y, n est dite de type Lebesgue-Nagell. Ces équations sont nommées d'après Victor-Amédée Lebesgue, qui a prouvé que l'équation

x 2 + 1 = y n {\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}

n'a pas de solutions non trivales lorsque n est un nombre premier[7],[8].

Les résultats de Shorey et Tijdeman[9] impliquent que le nombre de solutions dans chaque cas est fini[10]. Bugeaud, Mignotte et Siksek ont résolu les équations de ce type avec A = 1 et 1 ≤ D ≤ 100[11]. En particulier, la généralisation suivante de l'équation de Ramanujan-Nagell

y n − 7 = x 2 {\displaystyle y^{n}-7=x^{2}}

a des solutions entières seulement si x = 1, 3, 5, 11 ou 181.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan–Nagell equation » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) S. Ramanujan, « Question 464 », J. Indian Math. Soc., vol. 5,‎ , p. 130.
  2. ↑ (no) W. Ljunggren, « Oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 25,‎ , p. 29.
  3. ↑ (no) T. Nagell, « Løsning till oppgave nr 2 », Norsk Mat. Tidsskr., vol. 30,‎ , p. 62-64.
  4. ↑ (en) T. Nagell, « The Diophantine equation x2 + 7 = 2n », Ark. Mat., vol. 30,‎ , p. 185-187 (DOI 10.1007/BF02592006).
  5. ↑ a et b (en) N. Saradha et Anitha Srinivasan, Diophantine Equations, Narosa, , 308 p. (ISBN 978-81-7319-898-4), « Generalized Lebesgue-Ramanujan-Nagell equations », p. 207-223 : p. 208.
  6. ↑ Saradha et Srinivasan 2008, p. 207.
  7. ↑ M. Lebesgue, « Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation xm = y2 + 1 », Nouv. Ann. Math., 1re série, vol. 9,‎ , p. 178-181 (lire en ligne).
  8. ↑ Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.1 (« Équation de Lebesgue »), p. 487.
  9. ↑ (en) T. N. Shorey et R. Tijdeman, Exponential Diophantine equations, vol. 87, Cambridge/London/New York etc., Cambridge University Press, , 240 p. (ISBN 0-521-26826-5, zbMATH 0606.10011), p. 137-138.
  10. ↑ Saradha et Srinivasan 2008, p. 211.
  11. ↑ (en) Yann Bugeaud, Maurice Mignotte et Samir Siksek, « Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue-Nagell equation », Compos. Math., vol. 142,‎ , p. 31-62 (DOI 10.1112/S0010437X05001739, lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Ramanujan's Square Equation », sur MathWorld
  • (en) G. Myerson, « Can N2 + N - 2 Be A Power Of 2? », sur mathforum.org,
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres