170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 (nombre)

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170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 est un nombre premier, égal à 2¹²⁷ – 1.

Historique

C'est à Édouard Lucas que l'on accorde l'antériorité d'avoir montré, dès 1876, que ce nombre est premier, grâce au test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne. Ce nombre resta le plus grand nombre premier connu jusqu'à la découverte, en 1951, de (2¹⁴⁸ + 1)/17, qui est le plus grand nombre premier trouvé sans l'aide d'un ordinateur.

Propriétés

Ce nombre est le 12^e nombre premier de Mersenne, le 4^e nombre double de Mersenne premier et le 5^e nombre de Catalan-Mersenne premier.

Représentation binaire

Ce nombre est le plus grand entier représentable en base 2 avec 127 chiffres : celui dont les 127 chiffres sont des 1, c'est-à-dire le répunit binaire R⁽²⁾
₁₂₇.

C'est également, en informatique, le plus grand nombre entier représentable sur 128 bits dans le cas d'une signature en représentation « complément à deux » (où le bit le plus à gauche distingue les nombres positifs des nombres négatifs), c'est-à-dire sur 16 octets.

Dans la même représentation signée, le plus petit nombre entier est -170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 728 = –2¹²⁷.

Notes et références

• Arithmétique et théorie des nombres