Constante de Bernstein

La constante de Bernstein, usuellement désignée par la lettre grecque β (bêta), est une constante mathématique portant le nom de Sergueï Natanovitch Bernstein valant approximativement 0,2801694990[1].

Définition

Soit En(ƒ) l'erreur de la meilleure approximation uniforme d'une fonction réelle ƒ définie sur [−1, 1] par un polynôme réel de degré au plus n. Dans le cas où ƒ(x) = |x|, Bernstein[2] a montré que la limite

β = lim n → ∞ 2 n E 2 n ( f ) , {\displaystyle \beta =\lim _{n\to \infty }2nE_{2n}(f),\,}

dite constante de Bernstein, existe et est égale à 0,282 avec une erreur moindre que 0,004. Il a aussi signalé, comme une coïncidence curieuse, que 1 2 π ≈ 0 , 282 {\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\approx 0,282} avec une erreur moindre que 0,0005.

Mais β ≠ 1 2 π {\displaystyle \beta \neq {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}} , Varga et Carpenter, ayant calculé [3]:

β = 0 , 280169499023 … . {\displaystyle \beta =0,280169499023\dots \,.}

Références 

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernstein's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ suite A073001 de l'OEIS
  2. ↑ S.N. Bernstein, « Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degrés donnés », Acta Math., vol. 37,‎ , p. 1–57 (DOI 10.1007/BF02401828, lire en ligne)
  3. ↑ Richard S. Varga et Amos J. Carpenter, « A conjecture of S. Bernstein in approximation theory », Math. USSR Sbornik, vol. 57, no 2,‎ , p. 547–560 (DOI 10.1070/SM1987v057n02ABEH003086, MR 0842399)

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Bernstein's Constant », sur MathWorld
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