Corrélation de Spearman

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Corrélation de Spearman

Relation parfaitement monotone mais non linéaire. Dans ce cas la corrélation de Spearman est de 1 mais la corrélation de Pearson (linéaire) n'est pas parfaite.

Type	Coefficient de corrélation (en), statistique
Nommé en référence à	Charles Spearman
Formule	${\displaystyle r_{s}=\rho _{\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y}}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}}}$

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En statistique, la corrélation de Spearman ou rho de Spearman, nommée d'après Charles Spearman (1863-1945) et souvent notée par la lettre grecque ${\displaystyle \rho }$ (rho) ou ${\displaystyle r_{s}}$ est une mesure de dépendance statistique non paramétrique entre deux variables.

La corrélation de Spearman est étudiée lorsque deux variables statistiques semblent corrélées sans que la relation entre les deux variables soit de type affine. Elle consiste à trouver un coefficient de corrélation, non pas entre les valeurs prises par les deux variables mais entre les rangs de ces valeurs. Elle estime à quel point la relation entre deux variables peut être décrite par une fonction monotone. S'il n'y a pas de données répétées, une corrélation de Spearman parfaite de +1 ou -1 est obtenue quand l'une des variables est une fonction monotone parfaite de l'autre.

Définition

Pour un échantillon de taille n, les variables de rang ${\displaystyle \operatorname {rg} X_{i},\operatorname {rg} Y_{i}}$ sont calculées à partir des données ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$.

La corrélation de Spearman est définie par :

${\displaystyle r_{s}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{rg_{Y}}}}}$

Où

• ${\displaystyle \operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}$ est la covariance de variables de rang,

• ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}}$ et ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}$ sont les écarts-types des variables de rang.

On constate que cette définition correspond à la corrélation de Pearson des variables de rang.

Interprétation

Le coefficient de Spearman permet de détecter des tendances monotones. Lorsque la tendance est affine, il se comporte de façon similaire au coefficient de Pearson. En revanche, il sera plus élevé que la corrélation de Pearson si la tendance est monotone mais non affine. Plus la tendance monotone est marquée, plus la valeur du coefficient est proche de 1 ou -1.

De façon similaire au coefficient de Pearson, le coefficient de Spearman aura une valeur positive lorsque la tendance est croissante et négative lorsqu'elle est décroissante.

Lorsque la tendance n'est pas monotone, il aura une valeur proche de 0.

Contrairement au coefficient de Pearson, le coefficient de Spearman est robuste : l'impact d'éventuelles données aberrantes sur sa valeur est limité.

Notes et références

Voir aussi

• Corrélation (statistiques)
• Un autre test de corrélation basé sur les rangs est le Tau de Kendall

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

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