Cet article est une ébauche concernant le génie mécanique et la physique.
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Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives
![{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {u}}_{x}+y{\boldsymbol {u}}_{y}+z{\boldsymbol {u}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94504edbc5ad516587497ee9dc288df8337ea3d)
La vitesse du point situé en r s'écrit
,
et l'accélération
.
![{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d0a0c5dcf577996b121fb9c583d522aba5795d)
.
.
Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :
,
.
,
;
,
avec:
, ![{\displaystyle a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca65ab5dfbbc006aadc4beeecb5e548d2b047a69)
.
Changement de référentiel
Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel
. Soit un autre référentiel,
, dont l'origine est située au rayon vecteur s dans
. Le rayon vecteur du point, déterminé dans
est alors
.
Les vitesses du point peuvent être mesurées dans
ou dans
. Elles sont notées avec l'indice
ou
, de même que les accélérations.
- Vitesse d'entraînement :
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}={\dot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9ec6f099829329cc49f9ac81dc4542d60041b6)
- Loi de composition des vitesses :
![{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {v}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0529cd3a7b2047505515bf9c1e95d949a624f230)
- Accélération d'entraînement :
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}={\ddot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\wedge {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge ({\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44eb5194e9d6e710c9a375c3b488e5d4a9998643)
- Accélération de Coriolis :
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}=2{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\dot {\boldsymbol {r}}}'_{{\mathcal {R}}'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b1ebdb60c1c0dbd0f1a383d20a89b844ca3bf8)
- Loi de composition des accélérations :
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {a}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6475b8c3cdde43c11e33aafd7b8a559b56e5add6)
Dynamique
Quelques forces
- Poids :
![{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d268e2c1e373aa83ce69ebd502490a92427198)
- Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4d^{2}\pi \varepsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02742d0be898e3cc0d719b528601392062d142e1)
- Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {1}{d^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618e9e3c171699a25a1b271290cad3ca9b3e201f)
- Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-k{\boldsymbol {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc43711ad0edd3d8d85059f1ef48ee813242189)
- Frottement fluide :
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\lambda {\boldsymbol {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15624af7b733132b69e641703c98dcf37a601473)
- Force d'inertie d'entraînement :
![{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac047498072eedf0d82c36823f53206dcd9a04b)
- Force d'inertie de Coriolis:
![{\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c312018a899519aeb91a0a15c2b6263c34810cd)
Principe fondamental de la dynamique
- Vecteur quantité de mouvement :
(en général)
- Principe fondamental de la dynamique :
![{\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {F}}\;+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1117544652d2705cff5efd3b8047f06a2c7f5ad)
- Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,
![{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{A\rightarrow B}=-{\boldsymbol {F}}_{B\rightarrow A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e16830711776c8109b342d1fcdc42c284a9f6a)
Aspect énergétique
- Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:
![{\displaystyle \delta W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4dd05e78d3f7e895a2b2b558f1633539dd1154)
- Travail le long d'un chemin
: ![{\displaystyle \displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}\delta W({\boldsymbol {r}})=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {l}}({\boldsymbol {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1499c2d1fd2c26f2a9f273b4479000c477d8a0a2)
- Puissance :
![{\displaystyle {\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d22fff75e9926ded532a370e59139d87da7cf85)
- On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :
![{\displaystyle {\mathcal {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28727513472df4b6ec6fa5da139d781b1c7a5e37)
- Énergie cinétique d'un point matériel :
![{\displaystyle E_{\rm {c}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299dbd07acb416b63e249ad69d95e23eead691cf)
- Théorème de l'énergie cinétique :
![{\displaystyle \displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\sum W({\boldsymbol {F}})\;+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7cc87ed9b31085c2370d9e2680eff5ff843743)
- Énergie mécanique :
![{\displaystyle E_{\rm {m}}=E_{\rm {c}}+E_{\rm {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cc3a1a23d3f9fcb3310b2b2936a9a5becd1506)
Énergie potentielle pour quelques forces conservatives
Chacune de ces énergies est définie à une constante près
- Pesanteur :
..., ceci pour ![{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-mg{\boldsymbol {e}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72ab25a0ecde9307da0b3859ec3986fd6425593)
- Ressort :
![{\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}k|{\boldsymbol {u}}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd75cf658aaf094d5c96c50ab92bf1819101bd23)
- Force de Coulomb :
![{\displaystyle E_{\rm {p}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46fcdec82289cfafc19adfcafbc665355c8f42a)
- Gravitation :
![{\displaystyle E_{\rm {p}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99d3ebe79e0c4628225e6f5065dd56ece4c7b94)
Notion de Moment
- Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :
![{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b070a9b0756be4b4b7a561228ad4cbfbd6942f)
- Par rapport à un autre point r'' :
![{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'')\wedge m{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+m({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2095aec8d183394ce890ba88468adda35da22c4a)
- Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :
![{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899d05d6becb933ce4e75a4ffa08c1d9e8eb4a2c)
- Par rapport à un autre point r'' :
![{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a702c5503c41ab87b7e005199bd40443982a58a)
- Théorème du moment cinétique :
.
Oscillateur
Oscillateur harmonique (sans amortissement)
- Équation différentielle de la forme :
.
- Pulsation propre :
![{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7cdb7f504edcda20905a2b8e8ab8440c57ffe3c)
- Période propre:
![{\displaystyle T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1af3d6548c2ddb370925994407cf1edc5a3a25)
- Solution sous la forme :
.
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Oscillateur avec facteur d'amortissement λ
- Équation différentielle de la forme :
![{\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f052573113184a33ef48063d0cc65a94856b4c5d)
- Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :
![{\displaystyle \Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281cd2925d7ef9e2d197f7442bd8ce760bccc9c2)
, soit
, alors
(régime pseudo-périodique) - Pseudo-pulsation :
; - Pseudo-période :
![{\displaystyle T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18a3f0598a94093c559d080c186067d0af1e63)
, soit
, alors
(régime critique)
, soit
, alors
(régime apériodique)
- Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.
Articles connexes
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