Podaire

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La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.

Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).

L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.

Étymologie et histoire

La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

Définition mathématique

L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

En partant de l'équation cartésienne de la courbe sous la forme F(x, y)=0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en R=(x₀, y₀) s'écrit

${\displaystyle \cos(\alpha )x+\sin(\alpha )y=p}$

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.

Exemples

Applications

La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

Voir aussi

• Cercle podaire

Lien externe

• (fr) Sur le site Mathcurve.com

Notes et références

• Portail de la géométrie