Polynôme de Jacobi

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En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 − z 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}

où ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}\,} est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite

P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}

pour laquelle la valeur finale est

P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}

Ici, pour l'entier n {\displaystyle n\,}

( z n ) = Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) , {\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}

et Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)\,} est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété 1 / Γ ( n + 1 ) = 0 {\displaystyle 1/\Gamma (n+1)=0\,} pour n = − 1 , − 2 , … {\displaystyle n=-1,-2,\dots \,} . Ainsi,

( z n ) = 0 pour n < 0. {\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{pour}}\quad n<0.}

Les polynômes ont la relation de symétrie P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}  ; ainsi, l'autre valeur finale est

P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}

Pour un nombre réel x {\displaystyle x} , le polynôme de Jacobi peut aussi être écrit sous la forme

P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s ( n + α s ) ( n + β n − s ) ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}}

où s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0\,} et n − s ≥ 0 {\displaystyle n-s\geq 0\,} .

Dans le cas particulier où les quatre quantités n {\displaystyle n} , n + α {\displaystyle n+\alpha } , n + β {\displaystyle n+\beta } et n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta } sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s [ s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ] − 1 ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}

La somme sur s {\displaystyle s\,} s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner d m ′ m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;} ( 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi } ) en termes de polynômes de Jacobi[1]

d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 / 2 ( sin ⁡ ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ⁡ ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ⁡ ϕ ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}

Dérivées

La k {\displaystyle k} -ème dérivée de l'expression explicite conduit à

d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}

Référence

  1. ↑ L. C. Biedenharn et J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Articles connexes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Jacobi Polynomial », sur MathWorld
  • (en) T. H. Koornwinder, R. Wong, R. Koekoek et R. F. Swarttouw, « Orthogonal Polynomials », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (ISBN 978-0521192255)
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