Processus de Galton-Watson

L'arbre de la figure ci-contre correspond à une suite de variables aléatoires ${\displaystyle X_{i},}$ ainsi définies :

${\displaystyle (X_{\emptyset },X_{1},X_{2},X_{3},X_{11},X_{12},X_{111},X_{121},X_{122},\dots )\ =\ (3,2,0,0,1,2,1,0,1,\dots ).}$

Certaines variables aléatoires de la suite ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} ^{\star }}}$ n'ont pas d'influence sur le processus de Galton-Watson : dans l'exemple ci-contre, ${\displaystyle X_{4}}$ ou ${\displaystyle X_{126}}$ n'ont pas d'importance car l'ancêtre a strictement moins de 4 enfants (${\displaystyle X_{\emptyset }=3}$) et l'individu 12 a strictement moins de 6 enfants (${\displaystyle X_{12}=2}$). De même les progénitures des individus de la 5^e génération (les ${\displaystyle X_{i}}$ correspondant aux suites i de longueur 5) n'influencent pas cette réalisation du processus de Galton-Watson, car la population s'éteint à la 4^e génération (${\displaystyle X_{1111}=X_{1221}=0}$).

Pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, il faut se convaincre que ${\displaystyle Z_{n+1}}$ (l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ et indépendantes de ${\displaystyle Z_{n}.}$ Bien sûr, ${\displaystyle Z_{n+1}}$ est la somme des progénitures des ${\displaystyle Z_{n}}$ individus appartenant à la n ème génération, mais, contrairement au contexte de la propriété de composition des fonctions génératrices, on ne choisit pas les ${\displaystyle Z_{n}}$ premiers termes d'une suite de variables aléatoires i.i.d. indexées par ${\displaystyle \mathbb {N} }$ : dans la notation de Neveu, par exemple, la suite de variables aléatoires i.i.d. est indexée par ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n},}$ et les ${\displaystyle Z_{n}}$ variables de la suite intervenant dans la somme sont choisies en fonction de toute l'histoire de la population, jusqu'à la n-ème génération (non incluse). Une fois qu'on s'est convaincu que, malgré cela, ${\displaystyle Z_{n+1}}$ (l'effectif de la n+1 ème génération) a même loi que la somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ et indépendantes de ${\displaystyle Z_{n},}$ on en déduit que

${\displaystyle \varphi _{n+1}\ =\ \varphi _{n}\circ \varphi .}$

Démonstration

Un énoncé précis utilise la notion de loi conditionnelle : pour pouvoir appliquer la propriété de composition des fonctions génératrices, on doit vérifier que, pour tout k, la loi conditionnelle de ${\displaystyle Z_{n+1}}$ sachant l'évènement ${\displaystyle \{Z_{n}=k\}}$ est la loi de la somme de k variables aléatoires indépendantes, toutes de loi ${\displaystyle p,}$ loi décrite par ${\displaystyle \left(p_{\ell }^{\star k}\right)_{\ell \geq 0}.}$ Pour vérifier cela, on est amené à calculer la loi conditionnelle sachant un évènement plus précis que ${\displaystyle \{Z_{n}=k\},}$ i.e. sachant la composition exacte de la n-ème génération. Soit L un ensemble d'éléments de ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}.}$ Notons ${\displaystyle A_{L}}$ l'évènement :

${\displaystyle A_{L}\ =\ \{{\mathrm {les~individus~formant~la~} n\,\mathrm {-{\grave {e}}me~g{\acute {e}}n{\acute {e}}ration~de~la~population~sont~exactement~les~{\acute {e}}l{\acute {e}}ments~de~} L}\}.}$

En particulier les ancêtres des individus appartenant à L sont connus, donc ${\displaystyle A_{L}}$ apporte une information sur les générations 1, 2, ... jusqu'à la génération n-1. On constate que l'évènement ${\displaystyle A_{L}}$ appartient à la tribu engendrée par la famille des ${\displaystyle X_{i},}$ où i est une suite de longueur inférieure ou égale à n-1. Par ailleurs,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(\left\{\sum _{j\in L}X_{j}\ =\ \ell \right\}\ \cap A_{L}\right)\left(\mathbb {P} (A_{L})\right)^{-1}}$

Comme L est disjoint de l'ensemble des suites de longueur inférieure ou égale à n-1, le lemme de regroupement entraîne que

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(\sum _{j\in L}X_{j}\ =\ \ell \right)=p_{\ell }^{\star |L|}.}$

Cette dernière probabilité dépend de ${\displaystyle \ell ,}$ mais, surtout, elle dépend de L uniquement à travers son cardinal ${\displaystyle |L|=Z_{n}.}$ Donc, dès que ${\displaystyle |L|=k,}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,A_{L}\right)=\mathbb {P} \left(Z_{n+1}=\ell \,|\,Z_{n}=k\right)=p_{\ell }^{\star |L|},}$

en vertu d'une variante de la formule des probabilités totales. Accessoirement ceci montre que la suite ${\displaystyle (Z_{n})_{n\geq 0}}$ possède la propriété de Markov. Plus précisément, c'est une chaine de Markov homogène de probabilité de transition ${\displaystyle \left(p_{\ell }^{\star k}\right)_{k,\ell \geq 0}.}$

En remarquant que

${\displaystyle \varphi _{0}\ =\ {\text{Id}},}$

on en déduit, par récurrence, que

${\displaystyle \varphi _{n}\ =\ \varphi ^{\circ n},}$

puis la relation de récurrence fondamentale. On peut aussi obtenir cette relation plus directement, en décomposant ${\displaystyle Z_{n+1}}$ différemment (comme somme de X copies de ${\displaystyle Z_{n}}$ plutôt que comme somme de ${\displaystyle Z_{n}}$ copies de X).

• La relation de récurrence sur l'espérance de ${\displaystyle Z_{n},}$

${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{n+1}]\ =\ \varphi ^{\prime }\left(1\right)\ \mathbb {E} [Z_{n}],}$

découle alors de la formule de dérivation des fonctions composées.

• À l'aide de la relation de récurrence fondamentale, on trouve aussi, le cas échéant, une formule de récurrence pour la variance de ${\displaystyle Z_{n}.}$
• La démonstration de la formule de récurrence fondamentale montre aussi (modulo quelques modifications) que la suite ${\displaystyle (Z_{n})_{n\geq 0}}$ est une chaine de Markov dont la matrice de transition ${\displaystyle \left(p_{i,j}\right)_{i,j\geq 0}}$ est définie par ${\displaystyle p_{k,\ell }\,=\,p_{\ell }^{\star k}.}$

Soit ${\displaystyle (X_{i,j})_{i,j}}$ une famille indépendante et identiquement distribuée de variables aléatoires de loi ${\displaystyle (p_{k})_{k}}$, de moyenne ${\displaystyle m\ >\ 1}$. On définit la filtration :

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\ =\ \sigma (X_{i,j},i\in \mathbb {N} ,j\leq n).}$

Alors le processus défini par récurrence par :

${\displaystyle Z_{0}\ =\ 1,}$

${\displaystyle Z_{n+1}\ =\ \sum _{i=1}^{Z_{n}}X_{i,n+1}}$

est un processus de Galton-Watson de loi de reproduction ${\displaystyle (p_{k})_{k}}$. On définit alors le processus :

${\displaystyle M_{n}={\dfrac {Z_{n}}{m^{n}}},}$

qui est une ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-martingale. En effet,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[Z_{n+1}\left|{\mathcal {F}}_{n}\right.\right]&=\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{Z_{n}}X_{i,n+1}\left|{\mathcal {F}}_{n}\right.\right]\\&=\sum _{i=1}^{Z_{n}}\mathbb {E} \left[X_{i,n+1}\left|{\mathcal {F}}_{n}\right.\right]\\&=mZ_{n},\end{aligned}}}$

ce qui entraîne que

${\displaystyle \mathbb {E} \left[M_{n+1}\left|{\mathcal {F}}_{n}\right.\right]=M_{n}.}$

Comme ${\displaystyle M_{n}}$ est une martingale positive, elle converge presque sûrement vers une variable aléatoire réelle ${\displaystyle M.}$

Si on suppose de plus que ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i,j}^{2}]\ <\infty }$, on peut démontrer que l'ensemble ${\displaystyle \{\omega \in \Omega \,|\,M(\omega )\ >\ 0\}}$ est de mesure positive, et qu'il est égal presque sûrement à l'ensemble de non-extinction de l'arbre ${\displaystyle \{\liminf Z_{n}\ >\ 0\}.}$ En effet, dans ce cas, un calcul par récurrence montre que ${\displaystyle M_{n}}$ est bornée dans ${\displaystyle L^{2}.}$ On en déduit alors la convergence dans ${\displaystyle L^{2}}$ de ${\displaystyle M_{n}}$ vers ${\displaystyle M}$. On a alors, en particulier,

${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\lim _{n}\mathbb {E} [M_{n}]=\mathbb {E} [M_{0}]=\mathbb {E} [Z_{0}]=1.}$

Par conséquent ${\displaystyle M\ >\ 0}$ sur un ensemble de mesure non nulle.

Cela résulte de ce que

${\displaystyle {\mathcal {E}}\ =\ \bigcup _{n\geq 0}\{Z_{n}=0\}\quad {\text{et}}\quad \left\{\{Z_{n}=0\}\Rightarrow \{Z_{n+1}=0\}\right\},}$

d'où il suit, par propriété de limite croissante, que

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})\ =\ \lim _{n}\mathbb {P} (Z_{n}=0).}$

Par ailleurs la suite

${\displaystyle u_{n}\ =\ \mathbb {P} (Z_{n}=0)}$

est définie par ${\displaystyle u_{0}=0}$ (car ${\displaystyle Z_{0}=1}$), et par la relation de récurrence

${\displaystyle u_{n+1}\ =\ \varphi (u_{n}),}$

ce qui conduit à voir ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ comme un point fixe de φ.

Pour démontrer la relation de récurrence sur ${\displaystyle u_{n},}$ notons que

${\displaystyle \varphi _{n}(0)\ =\ \mathbb {P} (Z_{n}=0)\ =\ u_{n}.}$

Donc

${\displaystyle u_{n+1}\ =\ \varphi _{n+1}(0)\ =\ \varphi (\varphi _{n}(0))\ =\ \varphi (u_{n}).}$

Maintenant, supposons qu'il existe un point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ dans l'intervalle [0;1]. Alors, la fonction ${\displaystyle \varphi }$ étant croissante sur l'intervalle [0;1], ${\displaystyle \{u_{0}\leq \ell \ {\text{et}}\ u_{0}\leq u_{1}\}}$ entraine ${\displaystyle \{u_{0}\leq u_{1}\leq \ell \},}$ puis, par récurrence, ${\displaystyle \{\forall n,\ u_{n}\leq u_{n+1}\leq \ell \}.}$ Mais, d'une part, ${\displaystyle \varphi (0)=p_{0}\geq 0}$ (ce qui peut être réécrit ${\displaystyle u_{1}\geq u_{0}}$), d'autre part ${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ Ainsi, la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est croissante et majorée par 1, donc convergente. De plus, on a vu que la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est majorée par tout point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ appartenant à l'intervalle [0;1]. La limite de la suite ${\displaystyle (u_{n})_{n\geq 0}}$ est donc, elle aussi, majorée par tout point fixe ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle \varphi }$ appartenant à l'intervalle [0;1]. Mais comme la fonction ${\displaystyle \varphi }$ est continue sur l'intervalle [0;1], sa limite est un des points fixes de la fonction ${\displaystyle \varphi ,}$ donc, forcément, le plus petit d'entre eux.

• si ${\displaystyle \varphi (s)\equiv s,}$ le théorème dit que la probabilité d'extinction ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ est nulle. Cela peut être vu directement sans difficulté, car ${\displaystyle \varphi (s)\equiv s}$ équivaut à ${\displaystyle p_{1}=1,}$ ce qui entraine immédiatement que chaque génération est constituée d'exactement un individu ;
• plus généralement, si ${\displaystyle p_{0}=0,}$ 0 est point fixe, donc, d'après le théorème, ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ est nulle (on pouvait le voir directement, puisque, en ce cas, chaque individu de la population a au moins un enfant)  ;
• si ${\displaystyle p_{0}+p_{2}=1,}$ les deux points fixes sont 1 et ${\displaystyle p_{0}/p_{2},}$ donc, comme on pouvait s'y attendre, la probabilité d'extinction vaut 1 si ${\displaystyle p_{0}\geq p_{2},}$ et vaut moins que 1 (en fait ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=p_{0}/p_{2}}$) si ${\displaystyle p_{0}<p_{2}.}$ Ici, la valeur de ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ est difficile à calculer directement, sans utiliser le théorème. La figure ci-contre montre plusieurs valeurs de ${\displaystyle p_{0},}$ et la probabilité d'extinction correspondante.

Cela résulte de ce que

${\displaystyle m\ =\ \varphi ^{\prime }(1).}$

En effet :

• Cas sous-critique. Si m<1, la tangente en (1;1) au graphe de φ est, dans l'intervalle [0;1[, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x, et, φ étant convexe, le graphe de φ est au-dessus de sa tangente, donc, lui aussi, strictement au-dessus de la droite d'équation y=x : le seul point fixe de φ est 1.
• Cas critique. Si m =1, la tangente en (1;1) au graphe de φ est la droite d'équation y=x. Si φ est strictement convexe, le graphe de φ est strictement au-dessus de sa tangente, donc le seul point fixe de φ est 1. Or φ est strictement convexe si et seulement si ${\displaystyle p_{0}+p_{1}<1}$ (comme on le voit en calculant la dérivée seconde de φ). Sinon φ est une fonction affine, donc son graphe est confondu avec ses tangentes, en particulier, ici, avec la droite d'équation y=x. Donc ${\displaystyle p_{1}=1.}$
• Cas surcritique. Si m>1, la tangente en (1;1) au graphe de φ est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x, donc, sur un intervalle [1-ε,1[ bien choisi, φ lui-même est strictement au-dessous de la droite d'équation y=x. En 0, par contre, comme ${\displaystyle \varphi (0)=p_{0}\geq 0,}$ le graphe de φ est au-dessus de la droite d'équation y=x. Donc, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, φ possède un point fixe strictement plus petit que 1.

1. ↑ « Three papers on the history of branching processes », sur stat.washington.edu (consulté le 23 mars 2018)
2. ↑ Jacques Neveu, « Arbres et processus de Galton-Watson », Ann. de l'IHP, vol. 22, n^o 2,‎ 1986 (lire en ligne) (section 2)
3. ↑ (en) H. Kesten et B. P. Stigum, « A Limit Theorem for Multidimensional Galton-Watson Processes », The Annals of Mathematical Statistics, vol. 37, n^o 5,‎ octobre 1966, p. 1211-1223 (lire en ligne)
4. ↑ (en) Krishna B. Athreya, « A Simple Proof of a Result of Kesten and Stigum on Supercritical Multitype Galton-Watson Branching Process », The Annals of Mathematical Statistics, vol. 41, n^o 1,‎ février 1970, p. 195-202 (lire en ligne)
5. ↑ (en) Jean-François Marckert et Grégory Miermont, « Invariance principles for random bipartite planar maps », Ann. Probab., vol. 35, n^o 5,‎ 2007, p. 1642-1705 (DOI 10.1214/009117906000000908, lire en ligne), Proposition 1.