Théorème de Borel

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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ou Théorème de Borel-Lebesgue.

En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2],[3],[4],[5], ou lemme de Borel[6], est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano[7],[8] et en 1895 par Émile Borel[9]. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond[10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simple

Pour toute suite ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} de nombres complexes, il existe une fonction f {\displaystyle f} de classe C {\displaystyle C^{\infty }} , d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

n N f ( n ) ( 0 ) = a n . {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(0)=a_{n}.}

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction f {\displaystyle f} associée à la suite ( ( n ! ) 2 ) {\displaystyle \left((n!)^{2}\right)} .

Énoncé général

Soit U {\displaystyle U} un ouvert de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} et ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} une suite de fonctions de classe C {\displaystyle C^{\infty }} à valeurs complexes sur U {\displaystyle U} . Alors il existe une fonction F = F ( t , x ) {\displaystyle F=F(t,x)} de classe C {\displaystyle C^{\infty }} à valeurs complexes sur R × U {\displaystyle \mathbb {R} \times U} , solution de l'équation aux dérivées partielles :

k N x U k F t k ( 0 , x ) = f k ( x ) . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \quad \forall x\in U\qquad {\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}(0,x)=f_{k}(x).}

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat[11].

Notes et références

  • Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Lemme de Borel » (voir la liste des auteurs).
  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borel's lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3.
  2. Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76.
  3. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 99.
  4. Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74.
  5. Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127.
  6. Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31.
  7. (it) A. Genocchi et G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.
  8. (en) Ádám Besenyei, « Peano's Unnoticed Proof of Borel's Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 121, no 1,‎ , p. 69-72 (lire en ligne).
  9. É. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 (1895) 9-55.
  10. (de) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
  11. (en) Martin Golubitsky (de) et Victor Guillemin, Stable mappings and their singularities, New York, Springer, coll. « GTM » (no 14), , 3e éd., 209 p. (ISBN 978-0-387-90073-5).

Articles connexes

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