Théorème de Lebesgue-Vitali

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Ne doit pas être confondu avec lemme de recouvrement de Vitali.

En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, le théorème de Lebesgue-Vitali (ou théorème de convergence de Vitali) est un théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante pour passer d'une convergence en mesure vers une convergence dans les espaces ${\displaystyle L^{p}}$ pour des fonctions mesurables. Il est une généralisation du théorème de convergence dominée.

Initialement, le théorème a été énoncé pour des mesures finies mais ce dernier peut se généraliser à des mesures quelconques sous couvert de rajouter une hypothèse de type tension sur la suite de fonctions.

Prolégomènes

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré. Soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ une famille de fonctions intégrables définies sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

On dit que la famille ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ :

• est uniformément intégrable si ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists C,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{|f|>C}|f|d\mu <\varepsilon }$.
• a des intégrales uniformément absolument continues si ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists \delta >0,\,\forall A\in {\mathcal {A}}{\text{ tel que }}\mu (A)<\delta ,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{A}|f|d\mu <\varepsilon }$.
• est tendue si ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists K\in {\mathcal {A}}{\text{ tel que }}\mu (K)<\infty {\text{ et }}\forall f\in {\mathcal {F}},\,\int _{X\setminus K}|f|d\mu <\varepsilon }$.
• bornée dans ${\displaystyle L^{1}}$ si ${\displaystyle \exists M,\,\forall f\in {\mathcal {F}},\int |f|d\mu <M}$.

La définition donnée ici d'intégrales uniformément absolument continues est quelquefois utilisée comme définition d'intégrabilité uniforme par certains auteurs. Il faut donc faire attention, la définition d'intégrabilité uniforme choisie ici correspond à celle habituellement utilisée en théorie des probabilités.

Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie, alors ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est uniformément intégrable si et seulement si elle est bornée dans ${\displaystyle L^{1}}$ et a des intégrales uniformément absolument continues.

Si ${\displaystyle \mu }$ est finie et n'a pas d'atomes, alors ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est uniformément intégrable si et seulement si elle a des intégrales uniformément absolument continues^[1].

Enoncé

Enoncé général

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré, ${\displaystyle p\in [1,+\infty [}$ et ${\displaystyle f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:X\to \mathbb {R} }$ des fonctions mesurables telles que les ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sont dans ${\displaystyle L^{p}}$ (on ne suppose rien d'autre pour ${\displaystyle f}$). Alors ${\displaystyle f\in L^{p}}$ et ${\displaystyle f_{n}\to f}$ dans ${\displaystyle L^{p}}$ si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées^[2],[3] :

1. La suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en mesure vers ${\displaystyle f}$.
2. La famille ${\displaystyle (f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }}$ a des intégrales uniformément absolument continues.
3. La famille ${\displaystyle (f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }}$ est tendue.

Enoncé pour une mesure finie ou dans le cadre des probabilités

Dans le cas où ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie (c'est le cas par exemple si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure de probabilités), alors la condition 3 est toujours vérifiée (avec ${\displaystyle K=X}$). De plus, dans ce cas, on peut montrer que les conditions 1 et 2 sont équivalentes aux conditions 1 et 2' où 2' correspond au fait que la famille ${\displaystyle (f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }}$ est uniformément intégrable. Autrement dit on a le résultat suivant^[1],[2] :

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ un espace mesuré avec ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, ${\displaystyle p\in [1,+\infty [}$ et ${\displaystyle f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }:X\to \mathbb {R} }$ des fonctions mesurables telles que les ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sont dans ${\displaystyle L^{p}}$ (on ne suppose rien d'autre pour ${\displaystyle f}$). Alors ${\displaystyle f\in L^{p}}$ et ${\displaystyle f_{n}\to f}$ dans ${\displaystyle L^{p}}$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

1. La suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en mesure vers ${\displaystyle f}$.
2. La famille ${\displaystyle (f_{n}^{p})_{n\in \mathbb {N} }}$ est uniformément intégrable.

Une réciproque du théorème

Références

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