Dirac-mérték

A Dirac-mérték egy matematikai fogalom, ami nagyságot rendel egy halmaz részhalmazaihoz, annak függvényében, hogy egy meghatározott érték eleme-e vagy sem. Ennek révén lehet formalizálni a Dirac-delta függvényt, aminek fontos alkalmazásai vannak a modern fizikában és különféle mérnöki-technikai területeken.

Definíció

Legyen ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}})}$ mérhető tér, és legyen ${\displaystyle x\in M}$. Ekkor Dirac-mértéknek nevezzük a következő függvényt:

${\displaystyle \delta _{x}:{\mathcal {A}}\to \{0,1\},A\mapsto {\begin{cases}1,{\text{ ha }}x\in A\\0,{\text{ ha }}x\notin A\end{cases}}}$

A Dirac-mérték egy valószínűségi mérték, az ${\displaystyle M}$ mintatéren a majdnem biztosan bekövetkező ${\displaystyle x}$ eseményt jellemzi. Úgy is tekinthetnénk, hogy egyetlen atom ${\displaystyle x}$-ben, azonban a Dirac-mérték atomi mértékként kezelése helytelen, mivel a Dirac-mérték egy delta-sorozat határértéke. Sokkal inkább kezelhető az ${\displaystyle M}$ feletti valószínűségi mértékek konvex halmazának határpontjaként.

Maga a név a Dirac-féle δ-függvényre vezethető vissza. A Dirac mérték egyfajta Schwartz-eloszlásnak is tekinthető, például a valós számegyenesen. Ebben az esetben

${\displaystyle \int _{M}f(y)\mathop {{\text{d}}\delta _{x}(y)} =f(x)}$,

vagy más formában

${\displaystyle \int _{M}f(y)\delta _{x}(y)\mathop {{\text{d}}y} =f(x)}$.

Ilyen formában a δ-disztribúció definíciójaként is szolgál a Lebesgue-integrálelméletben.

A Dirac-mérték tulajdonságai

• Legyen ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}})}$ mérhető tér, és ${\displaystyle \delta _{x}}$ egy ehhez tartozó Dirac-mérték. Ekkor ${\displaystyle \delta _{x}}$ valószínűségi mérték ${\displaystyle M}$ felett, és mint ilyen, véges.
• Legyen ${\displaystyle (M,T)}$ topológiai tér, és ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ legalább olyan finomságú, mint a ${\displaystyle T}$ feletti Borel-féle σ-algebra. Ekkor
  • ${\displaystyle \delta _{x}}$ szigorúan pozitív mérték, ha ${\displaystyle x}$ eleme minden nem üres halmaznak ${\displaystyle T}$-ben. Ez fordítva is igaz.^[1]
  • Lokálisan véges mérték, ez következik abból, hogy valószínűségi mérték is.
  • Ha ${\displaystyle M}$ Hausdorff-tér a Borel-féle σ-algebrával, akkor ${\displaystyle \delta _{x}}$ kielégíti a reguláris belső mérték feltételeit, mivel minden egyelemű halmaz kompakt.
  • A fenti esetben ${\displaystyle \delta _{x}}$ Radon-mérték is.
  • Ha ${\displaystyle T}$ elég finom ahhoz, hogy ${\displaystyle \{x\}}$ zárt legyen,^[2] akkor ${\displaystyle \delta _{x}}$ tartója is ${\displaystyle \{x\}}$ lesz. Mi több, ${\displaystyle \delta _{x}}$ az egyetlen ${\displaystyle \{x\}}$-tartójú valószínűségi mérték. Minden egyéb esetben ${\displaystyle \mathop {\text{supp}} (\delta _{x})}$ a lezárása lesz ${\displaystyle \{x\}}$-nak.
  • Ha ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$ euklideszi tér a szokásos σ-algebrával és az ${\displaystyle n}$-dimenziós Lebesgue-mértékkel, akkor erre nézve ${\displaystyle \delta _{x}}$ szinguláris mérték. Ezt egyszerű belátni: legyen ${\displaystyle A:=\mathbf {R} ^{n}\setminus \{x\}}$ és ${\displaystyle B:=\{x\}}$, ekkor ${\displaystyle \delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0}$.

Általánosítás

A diszkrét mérték hasonlít a Dirac-mértékhez, azonban egyetlen helyett megszámlálhatóan sok pontra van értelmezve. Általánosabban minden mérték diszkrét a valós számegyenesen, ha a tartója legalább megszámlálható halmaz.

Jegyzetek

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dirac measure című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.