Gauss-féle első alapmennyiség

A differenciálgeometriában a Gauss-féle első alapmennyiség egy háromdimenziós euklideszi térben adott felület érintő terében vett skaláris szorzat, ami szokványosan az R3 skaláris szorzatából van indukálva. Lehetővé teszi a görbület és a felület metrikus tulajdonságainak (mint például hossz és terület) kiszámítását a körülvevő környezettel (magasabb dimenziószámú tér) konzisztens módon. A Gauss-féle első alapmennyiség jelölésére a római egyes szám ( I {\displaystyle \mathrm {I} } ) szolgál.

I ( x , y ) = ⟨ x , y ⟩ . {\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}

Legyen X(u, v) egy paraméteres felület. Ekkor a két érintővektor skaláris szorzata:

I ( a X u + b X v , c X u + d X v ) = a c ⟨ X u , X u ⟩ + ( a d + b c ) ⟨ X u , X v ⟩ + b d ⟨ X v , X v ⟩ = E a c + F ( a d + b c ) + G b d , {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}

ahol E, F és G a Gauss-féle első alapmennyiség együtthatói.

A Gauss-féle első alapmennyiségek kifejezhetőek egy szimmetrikus mátrixszal is, melyet Gauss-féle első alapmátrixnak neveznek:

I ( x , y ) = x T ( E F F G ) y {\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\text{T}}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}y}