Körülfordulási szám

A körülfordulási szám, más néven index görbék topológiai invariánsa, ami a komplex analízisben is meghatározó.

Informálisan, a körülfordulási szám azt adja meg, hogy az adott görbe hányszor kerül meg egy adott pontot. A megkerülést előjelesen kell értelmezni, ahol az óramutató járásával ellentétes irány pozitív, az óramutató szerinti negatív.

Definíció

Komplex számsíkba ágyazott zárt görbe esetén a körülfordulási szám értelmezhető a következőképpen: Legyen ${\displaystyle \gamma }$ zárt görbe a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ síkban, és ${\displaystyle z_{0}}$ komplex szám, ami nincs rajta a ${\displaystyle \gamma }$ görbén! Ekkor ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ körüli körülfordulási száma

${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(z_{0})=n(\gamma ,z_{0}):={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z_{0}}}\in \mathbb {Z} .}$

A körülfordulási szám mindig egész, és értelmezhető topológiai eszközökkel is.

Körülfordulási szám = 1	Körülfordulási szám = -1	Körülfordulási szám = 0	Körülfordulási szám = 1	Körülfordulási szám = 2

Kiszámítása

Nem mindig alkalmazható az intuitív kiszámítási mód, hogy a pozitív forgásirányú körüljárások számából levonjuk a negatív forgásirányú körüljárások számát.

A képlet levezetéséhez tekintsük az egységkört!

${\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\to \mathbb {C} ,t\mapsto e^{\mathrm {i} t}}$

Jelölje ${\displaystyle \mathbb {E} }$ a körvonal belsejét! Ekkor intuitívan ${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(z)=1}$ minden ${\displaystyle z\in \mathbb {E} }$ és ${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(z)=0}$ minden ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus {\bar {\mathbb {E} }}}$ komplex számra. Ez utóbbi a Cauchy-féle integráltétel és a definíció következménye. Most legyen

${\displaystyle f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C} ,z\mapsto \operatorname {ind} _{\gamma }(z).}$

Teljesül, hogy

${\displaystyle \operatorname {ind} _{\gamma }(0)=f(0)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta }}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {i} e^{\mathrm {i} t}}{e^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {d} t=1.}$

A deriválás és az integrálás felcserélésével

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -z\right)^{2}}},}$

és mivel az ${\displaystyle \zeta \mapsto -{\frac {1}{\zeta -z}}}$ az integrandus primitív függvénye, ${\displaystyle f'\equiv 0.}$. Továbbá ${\displaystyle \mathbb {E} }$ összefüggősége miatt ${\displaystyle f(z)=\operatorname {ind} _{\gamma }(z)=1}$ minden ${\displaystyle z\in \mathbb {E} }$ esetén.

Alkalmazás a komplex analízisben

A körülfordulási számot legtöbbször görbe menti integrálok kiszámítására használják. Legyen

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\rightarrow \mathbb {C} }$

meromorf, és szingularitásait jelölje ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$! Ekkor a reziduumtétel miatt ${\displaystyle f}$ integrálja egy, a szingularitásokat elkerülő ${\displaystyle \gamma }$ görbe menti integrálja

${\displaystyle \int _{\gamma }fdz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {ind} _{\gamma }(a_{i})Res_{a_{i}}f}$

Algoritmus

Az algoritmikus geometriában a körülfordulási számot arra használják, hogy eldöntsék, hogy egy pont egy nem egyszerű sokszögön belül van-e. Egyszerű sokszögek esetén az eljárás a páros-páratlan szabályra egyszerűsíthető.

Sokszögekre általános esetben a következő algoritmus alkalmazható:

1. Keresünk egy félegyenest, ami nem megy át a sokszög csúcsain.

2. Legyen ${\displaystyle w=0.}$

3. A félegyenes és a sokszögvonal összes metszéspontjára:

• Ha az elmetszett él jobbról balra van irányítva, azaz a pont az él bal oldalán van, akkor növeljük ${\displaystyle w}$-t eggyel.
• Ha az elmetszett él balról jobbra van irányítva, azaz a pont az él jobb oldalán van, akkor csökkentjük ${\displaystyle w}$-t eggyel.

4. Miután az összes elmetszett élt végignéztük, ${\displaystyle w}$ éppen a körülfordulási szám. Ha ez nulla, akkor a pont a sokszögön kívül van, különben belül.

Hasonlóan lehet nem egyenes szakaszokból álló zárt görbékre elvégezni a vizsgálatot, de ekkor nem adódik olyan triviálisan a metszéspontok vizsgálata.

Magasabb dimenziós sokaságokon

Magasabb dimenziós sokaságokra Nyikolaj Nyikolajevics Bogoljubov általánosította a körülfordulási számot. A Stokes-tétel alkalmazásával a ${\displaystyle z_{0}=0}$ pontra kapjuk, hogy

${\displaystyle \mathrm {ind} _{\gamma }(0)={\frac {1}{n\mathrm {Vol(B)} }}\oint _{\gamma }{\frac {{\vec {x}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}{\|x\|^{n}}}}$

ahol ${\displaystyle B}$ egységgömb ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben, és ${\displaystyle \gamma }$ az ${\displaystyle (n-1)}$ dimenziós sokaság, amin integrálunk.

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Windungszahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk