Az m-ed rendű poligamma-függvény a gamma-függvény logaritmusának (m+1)-edik deriváltja : [1]
ψ ( m ) ( z ) = d m d z m ψ ( z ) = d m + 1 d z m + 1 ln Γ ( z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z).} Itt:
ψ ( z ) = ψ ( 0 ) ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}} a digamma-függvény , és Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} gamma-függvény . A ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} trigamma-függvénynek is hívják.
A gamma-függvény logaritmusa, és néhány első poligamma-függvény a komplex síkon ln Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)} ψ ( 0 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)} ψ ( 1 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)} ψ ( 2 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(2)}(z)} ψ ( 3 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(3)}(z)} ψ ( 4 ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}
Képlet integrállal ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 ∞ t m e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt} mely érvényes Re z >0 és m > 0 esetén. m = 0 esetén lásd digamma-függvény .
Rekurzív képlet ψ ( m ) ( z + 1 ) = ψ ( m ) ( z ) + ( − 1 ) m m ! z − ( m + 1 ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.} Multiplikációs elmélet A multiplikációs elmélet szerint
k m ψ ( m − 1 ) ( k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m − 1 ) ( z + n k ) {\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)} m > 1 {\displaystyle m>1} m = 0 {\displaystyle m=0} digamma-függvény :
k ( ψ ( k z ) − log ( k ) ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( z + n k ) . {\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).} Sorozattal kifejezve ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) m + 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}} mely m > 0, és bármely z komplex számra igaz, ha az nem negatív egész. Ez a kifejezés még kompaktabb módon írható le a Hurwitz zéta-függvénnyel:
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).} Még egy sorozat létezik a poligamma-függvényre, mely Oscar Schlömilch (1823 – 1901) német matematikus munkája 1 / Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}
Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {{\mbox{e}}^{-\gamma z}}{z}}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\;{\mbox{e}}^{z/n}}
Taylor sor A Taylor sor z=1 esetén
ψ ( m ) ( z + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) m + k + 1 ( m + k ) ! ζ ( m + k + 1 ) z k k ! , {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},} mely konvergál |z | < 1 felé. Itt ζ a Riemann zéta-függvény . Ezek a sorok felhasználhatók számos racionális zéta sor deriválására.
Jegyzetek ↑ http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html Források Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (hely nélkül): Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0 Kapcsolódó szócikkek 
