Simson-egyenes

Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, ez az egyenes a Simson-egyenes.

Bizonyítás:

${\displaystyle ACPB}$ húrnégyszög ${\displaystyle \longrightarrow \beta +\epsilon +\alpha =180^{\circ }}$.

${\displaystyle ASPM}$ húrnégyszög (${\displaystyle S}$-nél és ${\displaystyle M}$-nél lévő szögei derékszögek) ${\displaystyle \longrightarrow \beta +\epsilon +\theta =180^{\circ }\longrightarrow \theta =\alpha }$.

${\displaystyle PIMC}$ húrnégyszög, mert ${\displaystyle MPC\measuredangle =\alpha =MIC\measuredangle }$ (${\displaystyle PMC\bigtriangleup }$ derékszögű) ${\displaystyle \longrightarrow \beta +90^{\circ }+\alpha =180^{\circ }}$.

${\displaystyle BSPI}$ húrnégyszög (${\displaystyle S}$, ${\displaystyle I}$-nél fekvő szögek derékszögűek) ${\displaystyle \longrightarrow BPS\measuredangle =\theta =BIS\measuredangle }$; ${\displaystyle BSP\bigtriangleup }$ derékszögű: ${\displaystyle SPK\bigtriangleup \sim BIK\bigtriangleup }$ (két oldal és közbezárt szög – váltószögek) ${\displaystyle \rightarrow }$ a többi szög is azonos.

${\displaystyle \longrightarrow \theta =\alpha }$ (váltószögek), így egy egyenesbe esnek az ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle M}$ pontok.

Külső hivatkozások

• Bizonyítás angolul, lépésről lépésre