Washburn-egyenlet

A Washburn-egyenlet a kapilláris jelenséget írja le párhuzamos hengeres csöveknél, és kiterjeszthető porozús anyagoknál a folyadék felszívódásra. Az egyenletet Edward Wight Washburn (1881 -1934), amerikai fizikusról^[1] nevezték el. Az egyenletet Lucas–Washburn egyenletnek is ismerik, mivel Richard Lucas,^[2] német fizikus hasonló publikációt jelentetett meg. Az egyenletnek van még egy harmadik neve is: Bell-Cameron-Lucas-Washburn egyenlet.^[3]

Egy nedves kapillárisnál:

${\displaystyle L^{2}={\frac {\gamma Dt}{4\eta }}}$

ahol

${\displaystyle t}$ a időtartam (dinamikus viszkozitás)

${\displaystyle \eta }$ dinamikus viszkozitás

${\displaystyle \gamma }$ a felületi feszültség

${\displaystyle L}$ a behatolás távolsága a kapillárisba

${\displaystyle D}$.a pórus átmérője

Porozús anyagoknál több értelmezése is lehet a pórusok átmérőjének, egy valós lehetőség a számításokhoz az érintkezési szög figyelembe vétele.^[4] Az érintkezési szög, a folyadék és az őt körülvevő szilárd anyag kapcsolatát fejezi ki. Az egyenletet hengeres cső kapillaritásából vezették le, gravitációs erő hiányában. 1921-ben, Washburn a dolgozatában Poiseuille-törvényre hivatkozik, mely kör keresztmetszetű csőben mozgó folyadékokra vonatkozik. Az egyenletbe behelyettesítve ${\displaystyle l}$ hosszúság differenciális kifejezését, ${\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}$, kapjuk:

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3})}$

ahol ${\displaystyle \sum P}$ a részt vevő nyomások szummája; az atmoszferikus nyomás (${\displaystyle P_{A}}$), a hidrosztatikus nyomás (${\displaystyle P_{h}}$), és a kapilláris erő ekvivalens nyomása (${\displaystyle P_{c}}$).

${\displaystyle \eta }$ a folyadék viszkozitás,

${\displaystyle \epsilon }$ a csúszási együttható, mely 0 nedves anyagoknál,

${\displaystyle r}$ a kapilláris sugara.

A nyomás:

${\displaystyle P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi }$

${\displaystyle P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }$

ahol

${\displaystyle \rho }$ a folyadék sűrűsége

${\displaystyle \gamma }$ a felületi feszültség

${\displaystyle \psi }$ az érintkezési szög.

A kifejezéseket behelyettesítve, egy első rendű differenciálegyenlethez vezet a csőben ${\displaystyle l}$: távolságra penetráló folyadékra:

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}}$

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

• Felületi feszültség
• Differenciálegyenlet
• Kapilláris jelenség
• van der Waals-erők
• Nyomás

Források