Kalkulus vektor

Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelesaikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, di mana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, di mana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang.

Ruang Lingkup

Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.

Aljabar vektor

Operasi aljabar (non-diferensial) dalam kalkulus vektor disebut sebagai aljabar vektor, didefinisikan untuk ruang vektor dan kemudian diterapkan secara global ke bidang vektor. Operasi aljabar dasar terdiri dari:

Notasi dalam kalkulus vektor

Operasi	Notasi	Deskripsi
Penambahan vektor	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	Penjumlahan dua vektor, menghasilkan vektor.
Perkalian skalar	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	Perkalian skalar dan vektor, menghasilkan vektor.
Produk titik	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	Perkalian dua vektor, menghasilkan skalar.
Produk silang	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	Perkalian dua vektor pada ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, menghasilkan vektor (pseudo).

Yang juga biasa digunakan adalah keduanya produk tiga kali lipat:

Hasil kali tiga kalkulus vektor

Operasi	Notasi	Deskripsi
Produk triple skalar	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	Produk titik dari perkalian silang dua vektor.
Produk triple vektor	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	Produk silang dari perkalian dua vektor.

Operator dan teorema

Operator diferensial

Kalkulus vektor mempelajari berbagai operator diferensial yang ditentukan pada bidang skalar atau vektor, yang biasanya dinyatakan dalam operator del (${\displaystyle \nabla }$), juga dikenal sebagai "nabla". Tiga operator vektor dasar adalah:

Operator diferensial dalam kalkulus vektor

Operasi	Notasi	Deskripsi	Notasional analogi	Domain
Gradien	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Mengukur laju dan arah perubahan dalam bidang skalar.	Perkalian skalar	Memetakan bidang skalar ke bidang vektor.
Perbedaan	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Mengukur skalar sumber atau sink pada titik tertentu dalam bidang vektor.	Produk titik	Memetakan bidang vektor ke bidang skalar.
Kurl	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Mengukur kecenderungan untuk memutar di sekitar titik dalam bidang vektor di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.	Produk silang	Maps vector fields to (pseudo)vector fields.
${\displaystyle f}$ menunjukkan bidang skalar dan ${\displaystyle F}$ menunjukkan bidang vektor

Yang juga umum digunakan adalah dua operator Laplace:

Operator Laplace dalam kalkulus vektor

Operasi	Notasi	Deskripsi	Domain / Rentang
Laplacian	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Mengukur selisih antara nilai bidang skalar dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.	Peta antar bidang skalar.
Vektor Laplacian	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	Mengukur selisih antara nilai bidang vektor dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.	Peta antar bidang vektor.
${\displaystyle f}$ menunjukkan bidang skalar dan ${\displaystyle F}$ menunjukkan bidang vektor

Kuantitas yang disebut matriks Jacobian berguna untuk mempelajari fungsi ketika domain dan rentang fungsi tersebut multivariabel, seperti perubahan variabel selama integrasi.

Teorema integral

Tiga operator vektor dasar memiliki teorema yang sesuai yang menggeneralisasi teorema dasar kalkulus ke dimensi yang lebih tinggi:

Teorema integral kalkulus vektor

Teorema	Pernyataan	Deskripsi
Teorema gradien	${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]}$	Garis integral dari gradien bidang skalar di atas kurva L sama dengan perubahan bidang skalar antara titik-titik akhir p dan q dari kurva.
Teorema divergensi	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\!\cdots \!\oint _{\!\!\!\!\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	Integral dari divergensi bidang vektor di atas sebuah n-dimensi padat V sama dengan fluks dari bidang vektor melalui (n−1)-dimensi permukaan batas tertutup dari padatan.
Teorema Curl (Kelvin–Stokes)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	Integral dari lengkungan bidang vektor di atas permukaan Σ dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sama dengan sirkulasi bidang vektor di sekitar kurva tertutup yang membatasi permukaan.
${\displaystyle \varphi }$ denotes a scalar field and ${\displaystyle F}$ denotes a vector field

Dalam dua dimensi, teorema divergensi dan keriting tereduksi menjadi teorema Green:

Teorema Green untuk kalkulus vektor

Teorema	Pernyataan	Deskripsi
Teorema Green	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\ =\ \oint _{\!\!\!\!\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	Integral dari divergensi (atau lengkungan) bidang vektor di beberapa wilayah A ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ sama dengan fluks (atau sirkulasi) bidang vektor di atas kurva tertutup yang membatasi daerah tersebut.
Untuk divergensi, ${\displaystyle F=(M,-L)}$. Untuk ikal, ${\displaystyle F=(L,M,0)}$. L dan M adalah fungsi dari (x, y).

Nabla

Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai ${\displaystyle \nabla }$.

Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu:

• Gradien
• Divergensi
• Curl
• Laplacian

Lihat pula