Equazione della corda vibrante

L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f}$

In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:

${\displaystyle u(x,t=0)=w_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}}$

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$. Nel caso la corda sia finita e di lunghezza ${\displaystyle l}$, si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle u(x=0,t)=0}$

${\displaystyle u(x=l,t)=0}$

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

${\displaystyle {\begin{cases}X=x-at\\Y=x+at\end{cases}}}$

L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial Y}}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left({\frac {\partial u}{\partial Y}}-{\frac {\partial u}{\partial X}}\right)\end{cases}}}$

e derivando una seconda volta:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}+2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\cdot \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}-2\cdot {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial Y^{2}}}\right)\end{cases}}}$

Dunque:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial X\partial Y}}=0}$

la cui soluzione generale è data da:

${\displaystyle u(X,Y)=g_{1}(X)+g_{2}(Y)=u(x,t)=g_{1}(x-at)+g_{2}(x+at)}$

Si determinano le due funzioni generiche ${\displaystyle g_{1}}$ e ${\displaystyle g_{2}}$ imponendo le condizioni iniziali:

${\displaystyle {\begin{cases}u=g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=a\cdot \left(-g_{1}^{'}(x-at)+g_{2}^{'}(x+at)\right)=w_{2}\end{cases}}}$

da cui si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\-g_{1}^{'}(x)+g_{2}^{'}(x)={\frac {w_{2}}{a}}\end{cases}}}$

Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

${\displaystyle g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz+C}$

nella quale si impone ${\displaystyle C=0}$. Dal sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)+g_{2}(x)=w_{1}\\g_{1}(x)-g_{2}(x)=-{\frac {1}{a}}\int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}}$

che diventa:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{1}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}-{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\\g_{2}(x)={\frac {1}{2}}w_{1}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{0}^{x}w_{2}(z)dz\end{cases}}}$

si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz}$

• Nel caso le condizioni iniziali siano:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}=0\end{cases}}}$

la soluzione diventa:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {w_{1}(x-at)+w_{1}(x+at)}{2}}}$

• Nel caso le condizioni iniziali siano:

${\displaystyle {\begin{cases}u(x,t=0)=w_{1}=0\\{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t=0)=w_{2}\end{cases}}}$

la nostra soluzione diventa:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2a}}\cdot \int _{x-at}^{x+at}w_{2}(z)dz}$

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza ${\displaystyle l}$, con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:

${\displaystyle u=T(t)\cdot X(x)}$

cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile ${\displaystyle x}$ e l'altro solo dalla variabile ${\displaystyle t}$. Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:

${\displaystyle X(x)\cdot T''(t)=a^{2}\cdot T(t)\cdot X''(x)}$

da cui:

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}}$

Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{a^{2}\cdot T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=-K^{2}}$

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

${\displaystyle {\begin{cases}X''(x)+K^{2}\cdot X(x)=0\qquad K\neq 0\\T''(t)+a^{2}\cdot K^{2}\cdot T(t)=0\qquad K\neq 0\end{cases}}}$

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

${\displaystyle {\begin{cases}X(x)=A\cos(Kx)+B\sin(Kx)\\T(t)=C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\end{cases}}}$

Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:

${\displaystyle u=\left[A\cos(Kx)+B\sin(Kx)\right]\cdot \left[C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\right]}$.

I coefficienti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si calcolano imponendo le condizioni ai limiti:

${\displaystyle {\begin{cases}X(x=0)=A\cdot 1+B\cdot 0=0\\X(x=l)=A\cos(Kl)+B\sin(Kl)=0\end{cases}}}$

da cui:

${\displaystyle {\begin{cases}A=0\\B\sin(Kl)=0\qquad B\neq 0\end{cases}}}$

e quindi:

${\displaystyle K=\pm {\frac {n\pi }{l}}}$

La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:

${\displaystyle u=\left[C\cos(aKt)+D\sin(aKt)\right]\cdot \sin(Kx)}$.

dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere ${\displaystyle K=n\pi /l}$ e sommare:

${\displaystyle u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+D_{n}\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)}$

Ora si possono trovare i coefficienti ${\displaystyle C_{n}}$ e ${\displaystyle D_{n}}$ in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a ${\displaystyle t}$ e imponendo ${\displaystyle t=0}$ si ottiene:

${\displaystyle w_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}\qquad w_{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\pi a}{l}}\cdot D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{l}}}$

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$ in serie di seni in ${\displaystyle [0,l]}$. In definitiva:

${\displaystyle C_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\qquad D_{n}={\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz}$

che sostituiti forniscono la soluzione:

${\displaystyle u=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}w_{1}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\cos \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)+\left({\frac {2}{n\pi a}}\int _{0}^{l}w_{2}\sin {\frac {n\pi z}{l}}dz\right)\sin \left({\frac {n\pi at}{l}}\right)\right]\cdot \sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)}$

• (EN) Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
• (EN) Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.

• Equazione delle onde
• Equazione di Lagrange
• Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
• Onda piana

• (EN) Java simulation of waves on a string, su falstad.com.
• (EN) Physics of a harpsichord string, su johnsankey.ca.
• (EN) A friendly explanation of standing waves and fundamental frequency, su acoustics.salford.ac.uk. URL consultato il 10 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 22 luglio 2011).
• (EN) "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.