Numero di Woodall

In matematica si chiamano numeri di Woodall e si indicano con $W_{n}$ i numeri naturali di forma

n\cdot 2^{n}-1

La sequenza

Furono studiati per la prima volta da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall, due matematici inglesi, nel 1917, grazie alle osservazioni di James Cullen sui numeri di Cullen, similmente definiti. I primi numeri di Woodall sono:

W_{1}=1

W_{2}=7

W_{3}=23

W_{4}=63

W_{5}=159

W_{6}=383

W_{7}=895

(sequenza A003216 dell'OEIS).

I primi di Woodall

I numeri di Woodall che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Woodall. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Woodall sono $2,3,6,30,75,81,115,123,249,362,384$ (sequenza A002234 dell'OEIS). La sequenza dei numeri primi di Woodall è invece

W_{p1}=7

W_{p2}=23

W_{p3}=383

W_{p4}=32212254719\approx 3.221\cdot 10^{10}

W_{p5}=2833419889721787128217599\approx 2.833\cdot 10^{24}

(sequenza A050918 dell'OEIS).

Proprietà

I numeri di Woodall hanno diverse proprietà di divisibilità. Ad esempio, se $p$ è un numero primo, allora divide

W_{\frac {p+1}{2}}

se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $+1$

e divide

W_{\frac {3p-1}{2}}

se il simbolo di Jacobi $\left({\frac {p}{2}}\right)$ è $-1$

Esiste anche una congettura che sostiene vi siano infiniti numeri primi di Woodall. A gennaio 2019 il più grande conosciuto è generato da $n=17016602$ ed è un numero di 5122515 cifre scoperto da Diego Bertolotti nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.