Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

∂ α   = ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) = ∂ ∂ x α = , α {\displaystyle \partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}={}_{,\alpha }}

Detto g α β {\displaystyle g^{\alpha \beta }} il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è ( + , − , − , − ) {\displaystyle (+,-,-,-)} , e si ha:

∂ α   = g α β ∂ β = ( 1 c ∂ ∂ t , − ∇ ) {\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =g^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)}

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

◻ = ∂ α ∂ α = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}} .

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

Bibliografia

  • Richard Feynman, La fisica di Feynman, Bologna, Zanichelli, 2001, ISBN 978-88-08-16782-8.:
    • Vol II, par. 25-3: Il gradiente quadridimensionale
  • (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.
  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

Voci correlate