Rapidità (relatività ristretta)

Nella teoria della relatività ristretta, la rapidità (da non confondere con la pseudorapidità) è una grandezza introdotta per poter scrivere le trasformazioni di Lorentz in maniera concisa. Questa grandezza ${\displaystyle {\vec {\zeta }}}$ è definita come:

${\displaystyle \zeta _{i}={\frac {1}{2}}\ln \left(\displaystyle {\frac {1+\beta _{i}}{1-\beta _{i}}}\right)}$

tale che ${\displaystyle \beta =\tanh \zeta }$, con ${\displaystyle \beta _{i}={\frac {v_{i}}{c}}}$

Definendo come di consuetudine:

${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}$

un boost di Lorentz lungo la direzione ${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=\gamma \left(x_{0}-\beta x_{1}\right)\\x_{1}^{\prime }=\gamma \left(x_{1}-\beta x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\\\end{array}}\right.}$

usando le relazioni ${\displaystyle \gamma =\cosh(\zeta _{1})}$ e ${\displaystyle \gamma \beta =\sinh(\zeta _{1})}$ può essere scritto come:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=x_{0}\cosh {\zeta _{1}}-x_{1}\sinh {\zeta _{1}}\\x_{1}^{\prime }=-x_{0}\sinh {\zeta _{1}}+x_{1}\cosh {\zeta _{1}}\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\end{array}}\right.}$

che è l'espressione di una rotazione immaginaria. La più generale trasformazione di Lorentz, esprimibile tramite la matrice ${\displaystyle \Lambda }$, prende la forma

${\displaystyle \Lambda =e^{-{\vec {\zeta }}\cdot {\vec {K}}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {S}}}}$

dove

${\displaystyle {\vec {S}}=(S_{1},S_{2},S_{3})}$ e ${\displaystyle {\vec {K}}=(K_{1},K_{2},K_{3})}$.

Le coordinate di ${\displaystyle {\vec {S}}}$ e ${\displaystyle {\vec {K}}}$ sono i generatori del gruppo di Lorentz.

${\displaystyle S_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right)\quad S_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right)\quad S_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)}$

${\displaystyle K_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right)}$

e generano rispettivamente le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani, e i boost di Lorentz lungo tali assi. Il restante parametro ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ha come coordinate gli angoli di rotazione attorno ai tre assi spaziali.

Un'ultima considerazione riguarda le rapidità di particelle viste in diversi sistemi di riferimento. Se prendiamo in considerazione come parametri per la descrizione del sistema l'impulso e la rapidità della particella si ha:

${\displaystyle {\tilde {\zeta _{i}}}=\zeta _{i}-Z}$

dove se indichiamo con ${\displaystyle {\tilde {k}}}$ un altro sistema di riferimento, con ${\displaystyle k_{i}}$ il sistema di riferimento solidale alla ${\displaystyle i}$-esima particella, e se indichiamo con una freccia una particolare trasformazione di Lorentz abbiamo:

${\displaystyle k{\stackrel {\zeta _{i}}{\rightarrow }}k_{i}{\stackrel {\tilde {\zeta _{i}}}{\leftarrow }}{\tilde {k}}}$

e la ${\displaystyle Z}$ è la rapidità della trasformazione da ${\displaystyle k}$ a ${\displaystyle {\tilde {k}}}$. Dimostriamolo. Intanto assegniamo al sistema ${\displaystyle {\tilde {k}}}$ i parametri ${\displaystyle {\vec {B}}}$ e ${\displaystyle \Gamma }$ che ne definiscono il moto rispetto a ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle \ln \left({\frac {p_{0}+p_{z}}{p_{0}-p_{z}}}\right)=2\zeta \qquad \quad \ln \left({\frac {{\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}}{{\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}}}\right)=2{\tilde {\zeta }}}$

${\displaystyle 2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left[{\frac {({\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z})(p_{0}-p_{z})}{({\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z})(p_{0}+p_{z})}}\right]}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\tilde {p}}_{0}=\Gamma (p_{0}-Bp_{z})\\{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{z}-Bp_{0})\end{array}}\qquad {\mbox{ con }}\Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-B^{2}}}}}$

${\displaystyle {\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}+p_{z})(1-B)\quad {\mbox{ e }}\quad {\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}-p_{z})(1+B)}$

quindi

${\displaystyle 2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left({\frac {1-B}{1+B}}\right)=\ln \left({\frac {\cosh Z-\sinh Z}{\sinh Z+\cosh Z}}\right)=\ln \left({\frac {e^{-Z}+e^{-Z}}{e^{Z}+e^{Z}}}\right)=\ln e^{-2Z}=-2Z}$

La comodità di utilizzare come parametri ${\displaystyle {\vec {p}}}$ e ${\displaystyle \zeta }$ è quella per cui in due diversi sistemi di riferimento le rapidità delle particelle risultano traslate di un valore fisso ${\displaystyle Z}$ che rappresenta la rapidità della trasformazione di Lorentz che collega i due sistemi di riferimento.

• Appunti di Teoria della relatività ristretta, su divshare.com. URL consultato il 9 febbraio 2008 (archiviato dall'url originale il 14 marzo 2008).

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