Il titolo di questa pagina non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è Spazio Lp. In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio
è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.
Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio
. In particolare, lo spazio l2 delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.
Gli spazi
, con
, sono spazi di Banach. In particolare,
è anche uno spazio di Hilbert.
Definizione
Sia
uno spazio di misura e sia
. Sia inoltre
una funzione misurabile. Si distinguono i seguenti due casi.
Caso p finito
Si definisce norma p-esima o norma
di
il numero
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374e70cf08f8e08d74f61df38f5bedd44d7ddc97)
Valgono le seguenti due proprietà: l'omogeneità rispetto al prodotto per scalare,
![{\displaystyle \|\lambda f\|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78e0134a12f8a8078b2fadd2b38b9a1e80212c1)
e la disuguaglianza triangolare,
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992ba91af6b8699064ae270168fc435f27f4eaab)
Lo spazio
delle funzioni misurabili con norma
finita, indicato anche come
,
o solo
risulta essere, per le suddette proprietà della norma
, uno spazio vettoriale reale.[1] Le funzioni in
si dicono a p-esima potenza sommabile.[2] In particolare, dalla disuguaglianza triangolare segue che la somma di due o più funzioni
-sommabili è ancora
-sommabile. A rigore, la norma
è una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere
una norma si definisce
se
, cioè due funzioni sono equivalenti se sono uguali quasi ovunque. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio
. Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.
Caso p infinito
Se
è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ quasi ovunque}}{\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe51ec7af66bb8d033f43dfacaee0858213fc8f)
con la convenzione
. Se definiamo
![{\displaystyle L^{\infty }(X)=\{f:X\longrightarrow \mathbb {R} {\text{ misurabili}}:\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e85034a4b0dc48dbbfffd94929bdba1c366ca33)
e come sopra definiamo come equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali,
è una norma su
che risulta essere uno spazio di Banach.
La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione
![{\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }={\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49627e26b157985a1e8a96ad7f0998412a35d42b)
Tale ambiguità si giustifica osservando che se
allora esiste un insieme di misura nulla
tale che
![{\displaystyle {\text{ess sup}}_{X}\,\vert f\vert ={\text{sup}}_{X\setminus E}\,\vert f\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ecd842123735ea0d01d62d2971c58fcf5b15d2)
Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se
e
, allora
![{\displaystyle \Vert f\Vert _{\infty }=\lim _{p\rightarrow +\infty }\Vert f\Vert _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68b3b33f62d172c436f0fd62d9abe23634d6d05)
Generalizzazioni
Gli spazi
possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio
può essere indicato con
. Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach
. In tal caso, la norma p-esima è definita come
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{X}\|f(x)\|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75882ad258fa3d1f22bd8891c3614168ff0b1c3f)
dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio
. Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.
Lo spazio lp
Consideriamo lo spazio di misura
, con
la misura del conteggio. Si denota con
lo spazio
associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni
tali che
![{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|\xi _{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5cb0fc543b4a621e9472c0da261f39903a1a8a)
Vi sono tre casi particolarmente importanti:
è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente;
è lo spazio delle successioni a quadrato sommabili;
è lo spazio delle successioni limitate.
Lo spazio
è uno spazio di Banach e, per
, separabile.
Proprietà degli spazi Lp
Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi
.
Il caso p=2
Nello spazio
delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c1d86ecaa923f150baca097e0da04bf99d1616)
e quindi
è uno spazio di Hilbert. Il caso
è molto particolare, dal momento che
è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi
.
Dualità
Se
allora lo spazio duale continuo di
, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a
, dove
è tale che:
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af112607cf61318fb455f37421f744c31d15ad8e)
Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a
il funzionale
![{\displaystyle \langle f\vert g\rangle =\int _{X}{\bar {f}}g\;{\mbox{d}}\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f1f4767fd1bd8f1cd59ac4e4007882d88a2c57)
Poiché la relazione
è simmetrica allora
è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di
, detto spazio biduale, è isometrico a
.
Per
il duale di
è isomorfo a
nel caso in cui
sia uno spazio
-finito. Non è valido il viceversa: il duale di
è uno spazio vettoriale "più grande" di
e per questo motivo
non è riflessivo. Ad esempio, sia
l'immersione canonica di
nel duale di
. Osserviamo che l'applicazione
, con
, appartiene al duale continuo di
. Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione
tale che
per ogni
. Notiamo che per ogni
![{\displaystyle \langle \delta \vert 1\rangle =\langle \delta \vert {\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}\rangle =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be03565f21175192ad837597cdeeb1ab50894d32)
Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata
![{\displaystyle 1=\lim _{n\rightarrow +\infty }\int _{\mathbb {R} }{\bar {\delta }}(x){\mathit {1}}_{(-1/n,1/n)}(x)dx=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf893bf44e7696859de13e62dee802f604206f3)
Si ottiene così un assurdo.
Il duale di
è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se
è uno spazio di misura allora il duale di
è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a
.
La disuguaglianza di Hölder
Siano
e
due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8357e477c1bdbda5e1b6f0f91c3089e2418ec250)
Se
allora per convenzione
. Se
e
allora
e[3]
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd456e5408319a730c65321f4d3043cb9e95ac)
Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente
![{\displaystyle \int _{X}fgd\mu \leq \left[\int _{X}f^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{X}g^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eddd1a1fde49bd719bcfd80d2c774703ebe1fb9)
Separabilità
Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio
, con
, è separabile. Ad esempio, se
è una base numerabile di
allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo
![{\displaystyle s(x)=\sum _{j=i}^{n}a_{j}\chi _{B_{j}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c532b75b1c2e723da3c137749a49b553c66e59)
con
e
.
Lo spazio
non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di
è infinita.
Relazioni di inclusione tra spazi Lp
Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di
è finita allora al crescere di
lo spazio
"decresce", ovvero
per ogni
. Infatti se
allora
![{\displaystyle \Vert f\Vert _{p}^{p}=\int _{X}\vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\int _{X}d\mu \leq \Vert f\Vert _{\infty }^{p}\mu (X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a980db59a2cded31a366a2e78ea1f0df0f43d16)
mentre se
allora per Hölder
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert f\Vert _{p}^{p}&=\int _{X}1\cdot \vert f\vert ^{p}d\mu \leq \Vert \,\vert f\vert ^{p}\Vert _{q/p}\Vert 1\Vert _{q/(q-p)}\\&=\Vert f\Vert _{q}^{p}\mu (X)^{(q-p)/q}\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b945c69393cf3d98d903cb170780074845307)
Per esempio, la funzione
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef43b0e595fa488de9a6e7ab50e084fee8979cf0)
appartiene
per ogni
. Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di
in
è una funzione continua.
Note
Bibliografia
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, New York, John Wiley & Sons, 1999, ISBN 978-0-471-31716-6.
- Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 8820715015.
Voci correlate
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